Rešite 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Rešitev za x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Uporabite distributivnost, da pomnožite 2x s/z 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Združite 40x in 60x, da dobite 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Odštejte 200 na obeh straneh.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite -4 za a, 100 za b in -200 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrat števila 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Pomnožite -4 s/z -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Pomnožite 16 s/z -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Seštejte 10000 in -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Uporabite kvadratni koren števila 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Pomnožite 2 s/z -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, ko je ± plus. Seštejte -100 in 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Delite -100+20\sqrt{17} s/z -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}, ko je ± minus. Odštejte 20\sqrt{17} od -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Delite -100-20\sqrt{17} s/z -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Uporabite distributivnost, da pomnožite 2x s/z 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Združite 40x in 60x, da dobite 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Delite obe strani z vrednostjo -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Z deljenjem s/z -4 razveljavite množenje s/z -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Delite 100 s/z -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Delite 200 s/z -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Delite -25, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{25}{2}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{25}{2} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{25}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Seštejte -50 in \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Faktorizirajte x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Prištejte \frac{25}{2} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$