Rešite 4x-y=5text{and}5y-4x=7

$$4 x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Rešitev za x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$4x-y=5$$

Prištejte y na obe strani enačbe.

$$4x=y+5$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+5\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} s/z y+5.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

Vstavite \frac{5+y}{4} za x v drugo enačbo -4x+5y=7.

$$-4\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)+5y=7$$

Pomnožite -4 s/z \frac{5+y}{4}.

$$-y-5+5y=7$$

Seštejte -y in 5y.

$$4y-5=7$$

Prištejte 5 na obe strani enačbe.

$$4y=12$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$y=3$$

Vstavite 3 za y v enačbi x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

Pomnožite \frac{1}{4} s/z 3.

$$x=\frac{3+5}{4}$$

Seštejte \frac{5}{4} in \frac{3}{4} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=2$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=2,y=3$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) je obratna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko matrično enačbo znova napišete v obliki problema množenja matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{1}{16}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 5+\frac{1}{16}\times 7\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 7\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=2,y=3$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$4x-y=5,-4x+5y=7$$

Če želite izenačiti 4x in -4x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z -4 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 4.

$$-4\times 4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,4\left(-4\right)x+4\times 5y=4\times 7$$

Poenostavite.

$$-16x+4y=-20,-16x+20y=28$$

Odštejte -16x+20y=28 od -16x+4y=-20 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$-16x+16x+4y-20y=-20-28$$

Seštejte -16x in 16x. Z okrajšanjem izrazov -16x in 16x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$4y-20y=-20-28$$

Seštejte 4y in -20y.

$$-16y=-20-28$$

Seštejte -20 in -28.

$$-16y=-48$$

Delite obe strani z vrednostjo -16.

$$y=3$$

Vstavite 3 za y v enačbi -4x+5y=7. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$-4x+5\times 3=7$$

Pomnožite 5 s/z 3.

$$-4x+15=7$$

Odštejte 15 na obeh straneh enačbe.

$$-4x=-8$$

Delite obe strani z vrednostjo -4.

$$x=2$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=2,y=3$$