Rešite 4x-y=4text{and}3x+2y=14

$$4 x - y = 4 \text { and } 3 x + 2 y = 14$$

Rešitev za x, y

$$x=2$$

$$y=4$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$4x-y=4,3x+2y=14$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$4x-y=4$$

Prištejte y na obe strani enačbe.

$$4x=y+4$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+4\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} s/z y+4.

$$x=\frac{1}{4}y+1$$

Vstavite \frac{y}{4}+1 za x v drugo enačbo 3x+2y=14.

$$3\left(\frac{1}{4}y+1\right)+2y=14$$

Pomnožite 3 s/z \frac{y}{4}+1.

$$\frac{3}{4}y+3+2y=14$$

Seštejte \frac{3y}{4} in 2y.

$$\frac{11}{4}y+3=14$$

Odštejte 3 na obeh straneh enačbe.

$$\frac{11}{4}y=11$$

Delite obe strani enačbe s/z \frac{11}{4}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=4$$

Vstavite 4 za y v enačbi x=\frac{1}{4}y+1. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{1}{4}\times 4+1$$

Pomnožite \frac{1}{4} s/z 4.

$$x=1+1$$

Seštejte 1 in 1.

$$x=2$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=2,y=4$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$4x-y=4,3x+2y=14$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\14\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4+\frac{1}{11}\times 14\\-\frac{3}{11}\times 4+\frac{4}{11}\times 14\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=2,y=4$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$4x-y=4,3x+2y=14$$

Če želite izenačiti 4x in 3x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 3 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 4.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 4,4\times 3x+4\times 2y=4\times 14$$

Poenostavite.

$$12x-3y=12,12x+8y=56$$

Odštejte 12x+8y=56 od 12x-3y=12 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$12x-12x-3y-8y=12-56$$

Seštejte 12x in -12x. Z okrajšanjem izrazov 12x in -12x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-3y-8y=12-56$$

Seštejte -3y in -8y.

$$-11y=12-56$$

Seštejte 12 in -56.

$$-11y=-44$$

Delite obe strani z vrednostjo -11.

$$y=4$$

Vstavite 4 za y v enačbi 3x+2y=14. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$3x+2\times 4=14$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$3x+8=14$$

Odštejte 8 na obeh straneh enačbe.

$$3x=6$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=2$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=2,y=4$$