Rešite 4x-3y=2text{and}x+5y=-11

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Rešitev za x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$4x-3y=2$$

Prištejte 3y na obe strani enačbe.

$$4x=3y+2$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Pomnožite \frac{1}{4} s/z 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Vstavite \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} za x v drugo enačbo x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Seštejte \frac{3y}{4} in 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Odštejte \frac{1}{2} na obeh straneh enačbe.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Delite obe strani enačbe s/z \frac{23}{4}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=-2$$

Vstavite -2 za y v enačbi x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Pomnožite \frac{3}{4} s/z -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Seštejte \frac{1}{2} in -\frac{3}{2} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=-1$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=-1,y=-2$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=-1,y=-2$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Če želite izenačiti 4x in x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 1 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Poenostavite.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Odštejte 4x+20y=-44 od 4x-3y=2 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Seštejte 4x in -4x. Z okrajšanjem izrazov 4x in -4x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-3y-20y=2+44$$

Seštejte -3y in -20y.

$$-23y=2+44$$

Seštejte 2 in 44.

$$-23y=46$$

Delite obe strani z vrednostjo -23.

$$y=-2$$

Vstavite -2 za y v enačbi x+5y=-11. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Pomnožite 5 s/z -2.

$$x-10=-11$$

Prištejte 10 na obe strani enačbe.

$$x=-1$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=-1,y=-2$$