Rešite 4x^2-7x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 7 x - 1 = 0$$

Rešitev za x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 7}{8} \approx 1,882782219$$

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}\approx -0,132782219$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, -7 za b in -1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 s/z -1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+16}}{2\times 4}$$

Seštejte 49 in 16.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Nasprotna vrednost -7 je 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}, ko je ± plus. Seštejte 7 in \sqrt{65}.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{7±\sqrt{65}}{8}, ko je ± minus. Odštejte \sqrt{65} od 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-1=0$$

Prištejte 1 na obe strani enačbe.

$$4x^{2}-7x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Če število -1 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-1\right)$$

Odštejte -1 od 0.

$$4x^{2}-7x=1$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{1}{4}$$

Z deljenjem s/z 4 razveljavite množenje s/z 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{1}{4}$$

Delite -\frac{7}{4}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{7}{8}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{7}{8} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{7}{8} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{1}{4}+\frac{49}{64}$$

Seštejte \frac{1}{4} in \frac{49}{64} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{65}{64}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{65}{64}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{64}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{65}}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{65}}{8}$$

Prištejte \frac{7}{8} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{\sqrt{65}+7}{8} x=\frac{7-\sqrt{65}}{8}$$