Rešite 4x^2-4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Rešitev za x

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktorizirajte levo stran z združevanjem. Najprej je treba na levi strani prepisati kot 4x^{2}+ax+bx+1. Če želite najti a in b, nastavite sistem, ki ga želite rešiti.

$$a+b=-4 ab=4\times 1=4$$

Ker ab je pozitiven, a in b imajo isti znak. Ker je a+b negativen, sta a in b oba negativna. Seznam vseh teh celih parov, ki omogočajo 4 izdelka.

$$-1,-4 -2,-2$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

Rešitev je par, ki daje vsoto -4.

$$a=-2 b=-2$$

Znova zapišite 4x^{2}-4x+1 kot \left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Faktoriziranje 2x v prvi in -1 v drugi skupini.

$$2x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Faktoriziranje skupnega člena 2x-1 z uporabo lastnosti odklona.

$$\left(2x-1\right)\left(2x-1\right)$$

Znova zapišite v obliki kvadrata dvočlenika.

$$\left(2x-1\right)^{2}$$

Če želite najti rešitev enačbe, rešite 2x-1=0.

$$x=\frac{1}{2}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, -4 za b in 1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Seštejte 16 in -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Uporabite kvadratni koren števila 0.

$$x=-\frac{-4}{2\times 4}$$

Nasprotna vrednost vrednosti -4 je 4.

$$x=\frac{4}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$x=\frac{4}{8}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{4}{8} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x+1=0$$

Odštejte 1 na obeh straneh enačbe.

$$4x^{2}-4x+1-1=-1$$

Če število 1 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$4x^{2}-4x=-1$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Z deljenjem s/z 4 razveljavite množenje s/z 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=-\frac{1}{4}$$

Delite -4 s/z 4.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{4}$$

Delite -1, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{1}{2}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{1}{2} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{1}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Seštejte -\frac{1}{4} in \frac{1}{4} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=0$$

Faktorizirajte x^{2}-x+\frac{1}{4}. Če je x^{2}+bx+c popolni kvadrat, ga je na splošno mogoče vedno faktorizirati kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{1}{2}=0 x-\frac{1}{2}=0$$

Prištejte \frac{1}{2} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{2}$$

Enačba je zdaj rešena. Rešitve so enake.

$$x=\frac{1}{2}$$