Rešite 4x^2-20x-11=0

$$4 x ^ { 2 } - 20 x - 11 = 0$$

Rešitev za x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 4x^{2}+ax+bx-11. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-20 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -44 izdelka.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -20.

$$a=-22 b=2$$

Znova zapišite 4x^{2}-20x-11 kot \left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(2x-11\right)$$

Faktorizirajte 2x v 4x^{2}-22x.

$$2x\left(2x-11\right)+2x-11$$

Faktor skupnega člena 2x-11 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+1\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite 2x-11=0 in 2x+1=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, -20 za b in -11 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 s/z -11.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+176}}{2\times 4}$$

Seštejte 400 in 176.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Uporabite kvadratni koren števila 576.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±24}{2\times 4}$$

Nasprotna vrednost -20 je 20.

$$x=\frac{20±24}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$x=\frac{20±24}{8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{20±24}{8}, ko je ± plus. Seštejte 20 in 24.

$$x=\frac{44}{8}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{44}{8} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{20±24}{8}, ko je ± minus. Odštejte 24 od 20.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-4}{8} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-20x-11=0$$

Prištejte 11 na obe strani enačbe.

$$4x^{2}-20x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Če število -11 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$4x^{2}-20x=-\left(-11\right)$$

Odštejte -11 od 0.

$$4x^{2}-20x=11$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=\frac{11}{4}$$

Z deljenjem s/z 4 razveljavite množenje s/z 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=\frac{11}{4}$$

Delite -20 s/z 4.

$$x^{2}-5x=\frac{11}{4}$$

Delite -5, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{5}{2}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{5}{2} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{5}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{11+25}{4}$$

Seštejte \frac{11}{4} in \frac{25}{4} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=9$$

Faktorizirajte x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=9$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{5}{2}=3 x-\frac{5}{2}=-3$$

Prištejte \frac{5}{2} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{1}{2}$$