Rešite 4x^2-2x=1

$$4 x ^ { 2 } - 2 x = 1$$

Rešitev za x

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\approx 0,809016994$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}\approx -0,309016994$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$4x^{2}-2x=1$$

Odštejte 1 na obeh straneh enačbe.

$$4x^{2}-2x-1=1-1$$

Če število 1 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$4x^{2}-2x-1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, -2 za b in -1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 s/z -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16}}{2\times 4}$$

Seštejte 4 in 16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{20}}{2\times 4}$$

Uporabite kvadratni koren števila 20.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Nasprotna vrednost -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8}, ko je ± plus. Seštejte 2 in 2\sqrt{5}.

$$x=\frac{2\sqrt{5}+2}{8}$$

Delite 2+2\sqrt{5} s/z 8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±2\sqrt{5}}{8}, ko je ± minus. Odštejte 2\sqrt{5} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{5}}{8}$$

Delite 2-2\sqrt{5} s/z 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x=1$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{1}{4}$$

Z deljenjem s/z 4 razveljavite množenje s/z 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{1}{4}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-2}{4} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}$$

Delite -\frac{1}{2}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{1}{4}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{1}{4} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{1}{4} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}$$

Seštejte \frac{1}{4} in \frac{1}{16} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{16}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{16}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{5}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{5}}{4}$$

Prištejte \frac{1}{4} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$$