Rešite 4x^2-14x=9

$$4 x ^ { 2 } - 14 x = 9$$

Rešitev za x

$$x = \frac{\sqrt{85} + 7}{4} \approx 4,054886114$$

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}\approx -0,554886114$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$4x^{2}-14x=9$$

Odštejte 9 na obeh straneh enačbe.

$$4x^{2}-14x-9=9-9$$

Če število 9 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$4x^{2}-14x-9=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, -14 za b in -9 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-9\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 s/z -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+144}}{2\times 4}$$

Seštejte 196 in 144.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{340}}{2\times 4}$$

Uporabite kvadratni koren števila 340.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Nasprotna vrednost -14 je 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}, ko je ± plus. Seštejte 14 in 2\sqrt{85}.

$$x=\frac{2\sqrt{85}+14}{8}$$

Delite 14+2\sqrt{85} s/z 8.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{14±2\sqrt{85}}{8}, ko je ± minus. Odštejte 2\sqrt{85} od 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{85}}{8}$$

Delite 14-2\sqrt{85} s/z 8.

$$x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x=9$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{9}{4}$$

Z deljenjem s/z 4 razveljavite množenje s/z 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{9}{4}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-14}{4} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{4}$$

Delite -\frac{7}{2}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{7}{4}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{7}{4} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{4}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{7}{4} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{4}+\frac{49}{16}$$

Seštejte \frac{9}{4} in \frac{49}{16} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{85}{16}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{85}{16}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{16}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{85}}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{85}}{4}$$

Prištejte \frac{7}{4} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{\sqrt{85}+7}{4} x=\frac{7-\sqrt{85}}{4}$$