Rešite 4x^2-12x-27=0

$$4 x ^ { 2 } - 12 x - 27 = 0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 4x^{2}+ax+bx-27. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -108 izdelka.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -12.

$$a=-18 b=6$$

Znova zapišite 4x^{2}-12x-27 kot \left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right).

$$\left(4x^{2}-18x\right)+\left(6x-27\right)$$

Faktor 2x v prvem in 3 v drugi skupini.

$$2x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

Faktor skupnega člena 2x-9 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(2x-9\right)\left(2x+3\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite 2x-9=0 in 2x+3=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, -12 za b in -27 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 s/z -27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Seštejte 144 in 432.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Uporabite kvadratni koren števila 576.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±24}{2\times 4}$$

Nasprotna vrednost -12 je 12.

$$x=\frac{12±24}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$x=\frac{12±24}{8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{12±24}{8}, ko je ± plus. Seštejte 12 in 24.

$$x=\frac{36}{8}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{36}{8} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x=\frac{9}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{12±24}{8}, ko je ± minus. Odštejte 24 od 12.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-12}{8} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-12x-27=0$$

Prištejte 27 na obe strani enačbe.

$$4x^{2}-12x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Če število -27 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$4x^{2}-12x=-\left(-27\right)$$

Odštejte -27 od 0.

$$4x^{2}-12x=27$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{27}{4}$$

Z deljenjem s/z 4 razveljavite množenje s/z 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{27}{4}$$

Delite -12 s/z 4.

$$x^{2}-3x=\frac{27}{4}$$

Delite -3, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{3}{2}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{3}{2} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{3}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Seštejte \frac{27}{4} in \frac{9}{4} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=9$$

Faktorizirajte x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{3}{2}=3 x-\frac{3}{2}=-3$$

Prištejte \frac{3}{2} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{9}{2} x=-\frac{3}{2}$$