Rešite 4x^2+48x-81=0

$$4 x ^ { 2 } + 48 x - 81 = 0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{27}{2} = -13\frac{1}{2} = -13,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 4x^{2}+ax+bx-81. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=48 ab=4\left(-81\right)=-324$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. Ker je a+b pozitivno, je pozitivno število večje absolutno vrednosti kot negativno. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -324 izdelka.

$$-1,324 -2,162 -3,108 -4,81 -6,54 -9,36 -12,27 -18,18$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1+324=323 -2+162=160 -3+108=105 -4+81=77 -6+54=48 -9+36=27 -12+27=15 -18+18=0$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto 48.

$$a=-6 b=54$$

Znova zapišite 4x^{2}+48x-81 kot \left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(54x-81\right)$$

Faktor 2x v prvem in 27 v drugi skupini.

$$2x\left(2x-3\right)+27\left(2x-3\right)$$

Faktor skupnega člena 2x-3 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+27\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite 2x-3=0 in 2x+27=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, 48 za b in -81 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-81\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 s/z -81.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+1296}}{2\times 4}$$

Seštejte 2304 in 1296.

$$x=\frac{-48±\sqrt{3600}}{2\times 4}$$

Uporabite kvadratni koren števila 3600.

$$x=\frac{-48±60}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$x=\frac{-48±60}{8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-48±60}{8}, ko je ± plus. Seštejte -48 in 60.

$$x=\frac{12}{8}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{12}{8} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-48±60}{8}, ko je ± minus. Odštejte 60 od -48.

$$x=-\frac{108}{8}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-108}{8} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x=-\frac{27}{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+48x-81=0$$

Prištejte 81 na obe strani enačbe.

$$4x^{2}+48x-81-\left(-81\right)=-\left(-81\right)$$

Če število -81 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$4x^{2}+48x=-\left(-81\right)$$

Odštejte -81 od 0.

$$4x^{2}+48x=81$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{81}{4}$$

Z deljenjem s/z 4 razveljavite množenje s/z 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{81}{4}$$

Delite 48 s/z 4.

$$x^{2}+12x=\frac{81}{4}$$

Delite 12, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite 6. Nato dodajte kvadrat števila 6 na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=\frac{81}{4}+6^{2}$$

Kvadrat števila 6.

$$x^{2}+12x+36=\frac{81}{4}+36$$

Seštejte \frac{81}{4} in 36.

$$x^{2}+12x+36=\frac{225}{4}$$

Faktorizirajte x^{2}+12x+36. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Poenostavite.

$$x+6=\frac{15}{2} x+6=-\frac{15}{2}$$

Odštejte 6 na obeh straneh enačbe.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{27}{2}$$