Rešite 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Rešitev za n

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Odštejte 11 na obeh straneh.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 4n^{2}+an+bn-11. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -44 izdelka.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -7.

$$a=-11 b=4$$

Znova zapišite 4n^{2}-7n-11 kot \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right).

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Faktorizirajte n v 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Faktor skupnega člena 4n-11 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite 4n-11=0 in n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$4n^{2}-7n=11$$

Odštejte 11 na obeh straneh enačbe.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Če število 11 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, -7 za b in -11 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila -7.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 s/z -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Seštejte 49 in 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Uporabite kvadratni koren števila 225.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Nasprotna vrednost -7 je 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{7±15}{8}, ko je ± plus. Seštejte 7 in 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{22}{8} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{7±15}{8}, ko je ± minus. Odštejte 15 od 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Delite -8 s/z 8.

$$n=-1$$

Enačba je zdaj rešena.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Z deljenjem s/z 4 razveljavite množenje s/z 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Delite -\frac{7}{4}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{7}{8}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{7}{8} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{7}{8} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Seštejte \frac{11}{4} in \frac{49}{64} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Faktorizirajte n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Poenostavite.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Prištejte \frac{7}{8} na obe strani enačbe.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$