Rešite 4x^2-7x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -7x-15 = 0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$x=3$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 4x^{2}+ax+bx-15. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-7 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -60 izdelka.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -7.

$$a=-12 b=5$$

Znova zapišite 4x^{2}-7x-15 kot \left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(4x^{2}-12x\right)+\left(5x-15\right)$$

Faktor 4x v prvem in 5 v drugi skupini.

$$4x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Faktor skupnega člena x-3 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(x-3\right)\left(4x+5\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite x-3=0 in 4x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$4x^{2}-7x-15=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, -7 za b in -15 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 s/z -15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+240}}{2\times 4}$$

Seštejte 49 in 240.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{289}}{2\times 4}$$

Uporabite kvadratni koren števila 289.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±17}{2\times 4}$$

Nasprotna vrednost -7 je 7.

$$x=\frac{7±17}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$x=\frac{7±17}{8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{7±17}{8}, ko je ± plus. Seštejte 7 in 17.

$$x=\frac{24}{8}$$

Delite 24 s/z 8.

$$x=3$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{7±17}{8}, ko je ± minus. Odštejte 17 od 7.

$$x=-\frac{10}{8}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-10}{8} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x=-\frac{5}{4}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-7x-15=0$$

Prištejte 15 na obe strani enačbe.

$$4x^{2}-7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Če število -15 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$4x^{2}-7x=-\left(-15\right)$$

Odštejte -15 od 0.

$$4x^{2}-7x=15$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$\frac{4x^{2}-7x}{4}=\frac{15}{4}$$

Z deljenjem s/z 4 razveljavite množenje s/z 4.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x=\frac{15}{4}$$

Delite -\frac{7}{4}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{7}{8}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{7}{8} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{7}{8} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{15}{4}+\frac{49}{64}$$

Seštejte \frac{15}{4} in \frac{49}{64} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{289}{64}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{289}{64}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{64}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{7}{8}=\frac{17}{8} x-\frac{7}{8}=-\frac{17}{8}$$

Prištejte \frac{7}{8} na obe strani enačbe.

$$x=3 x=-\frac{5}{4}$$