Rešite 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 4x^{2}+ax+bx-15. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -60 izdelka.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -4.

$$a=-10 b=6$$

Znova zapišite 4x^{2}-4x-15 kot \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Faktor 2x v prvem in 3 v drugi skupini.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Faktor skupnega člena 2x-5 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite 2x-5=0 in 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, -4 za b in -15 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 s/z -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Seštejte 16 in 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Uporabite kvadratni koren števila 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Nasprotna vrednost -4 je 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{4±16}{8}, ko je ± plus. Seštejte 4 in 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{20}{8} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{4±16}{8}, ko je ± minus. Odštejte 16 od 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-12}{8} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Prištejte 15 na obe strani enačbe.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Če število -15 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Odštejte -15 od 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Z deljenjem s/z 4 razveljavite množenje s/z 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Delite -4 s/z 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Delite -1, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{1}{2}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{1}{2} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{1}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Seštejte \frac{15}{4} in \frac{1}{4} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Faktorizirajte x^{2}-x+\frac{1}{4}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Prištejte \frac{1}{2} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$