Rešite 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Rešitev za x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$3x-5y=4$$

Prištejte 5y na obe strani enačbe.

$$3x=5y+4$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} s/z 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Vstavite \frac{5y+4}{3} za x v drugo enačbo 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Pomnožite 9 s/z \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Seštejte 15y in -2y.

$$13y+12=7$$

Odštejte 12 na obeh straneh enačbe.

$$13y=-5$$

Delite obe strani z vrednostjo 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Vstavite -\frac{5}{13} za y v enačbi x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Pomnožite \frac{5}{3} s/z -\frac{5}{13} tako, da pomnožite števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. Nato okrajšajte ulomek na najnižje člene, če je mogoče.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Seštejte \frac{4}{3} in -\frac{25}{39} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=\frac{9}{13}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Če želite izenačiti 3x in 9x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 9 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Poenostavite.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Odštejte 27x-6y=21 od 27x-45y=36 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Seštejte 27x in -27x. Z okrajšanjem izrazov 27x in -27x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-45y+6y=36-21$$

Seštejte -45y in 6y.

$$-39y=36-21$$

Seštejte 36 in -21.

$$-39y=15$$

Delite obe strani z vrednostjo -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Vstavite -\frac{5}{13} za y v enačbi 9x-2y=7. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Pomnožite -2 s/z -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Odštejte \frac{10}{13} na obeh straneh enačbe.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Delite obe strani z vrednostjo 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$