Rešite 3x-(k+1)y=20text{and}(k+2)x-10y=40

$$3 x - ( k + 1 ) y = 20 \text { and } ( k + 2 ) x - 10 y = 40$$

Rešitev za x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&k=4\end{matrix}\right,$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+1 s/z y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Če želite poiskati nasprotno vrednost za ky+y, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$3x-ky-y=20$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Razmislite o drugi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+2 s/z x.

$$kx+2x-10y=40$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Prištejte \left(k+1\right)y na obe strani enačbe.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} s/z yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Vstavite \frac{yk+y+20}{3} za x v drugo enačbo \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Pomnožite k+2 s/z \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Seštejte \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} in -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Odštejte \frac{40+20k}{3} na obeh straneh enačbe.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Delite obe strani z vrednostjo \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Vstavite -\frac{20}{7+k} za y v enačbi x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Pomnožite \frac{k+1}{3} s/z -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Seštejte \frac{20}{3} in -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+1 s/z y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Če želite poiskati nasprotno vrednost za ky+y, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$3x-ky-y=20$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Razmislite o drugi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+2 s/z x.

$$kx+2x-10y=40$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+1 s/z y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Če želite poiskati nasprotno vrednost za ky+y, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$3x-ky-y=20$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Razmislite o drugi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+2 s/z x.

$$kx+2x-10y=40$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Če želite izenačiti 3x in \left(k+2\right)x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z k+2 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Poenostavite.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Odštejte \left(3k+6\right)x-30y=120 od \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Seštejte 3\left(2+k\right)x in -6x-3xk. Z okrajšanjem izrazov 3\left(2+k\right)x in -6x-3xk ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Seštejte -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y in 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Seštejte 20k+40 in -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Delite obe strani z vrednostjo \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Vstavite -\frac{20}{7+k} za y v enačbi \left(k+2\right)x-10y=40. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Pomnožite -10 s/z -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Odštejte \frac{200}{7+k} na obeh straneh enačbe.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Delite obe strani z vrednostjo k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Rešitev za x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{40}{k+7}\text{, }y=-\frac{20}{k+7}\text{, }&k\neq -7\text{ and }k\neq 4\\x=\frac{5\left(y+4\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&k=4\end{matrix}\right,$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+1 s/z y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Če želite poiskati nasprotno vrednost za ky+y, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$3x-ky-y=20$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Razmislite o drugi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+2 s/z x.

$$kx+2x-10y=40$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Prištejte \left(k+1\right)y na obe strani enačbe.

$$3x=\left(k+1\right)y+20$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(\left(k+1\right)y+20\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} s/z yk+y+20.

$$x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}$$

Vstavite \frac{yk+y+20}{3} za x v drugo enačbo \left(k+2\right)x-10y=40.

$$\left(k+2\right)\left(\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}\right)-10y=40$$

Pomnožite k+2 s/z \frac{yk+y+20}{3}.

$$\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}-10y=40$$

Seštejte \frac{\left(k+2\right)\left(k+1\right)y}{3} in -10y.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y+\frac{20k+40}{3}=40$$

Odštejte \frac{40+20k}{3} na obeh straneh enačbe.

$$\frac{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}{3}y=\frac{80-20k}{3}$$

Delite obe strani z vrednostjo \frac{\left(-4+k\right)\left(7+k\right)}{3}.

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Vstavite -\frac{20}{7+k} za y v enačbi x=\frac{k+1}{3}y+\frac{20}{3}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{k+1}{3}\left(-\frac{20}{k+7}\right)+\frac{20}{3}$$

Pomnožite \frac{k+1}{3} s/z -\frac{20}{7+k}.

$$x=-\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(k+7\right)}+\frac{20}{3}$$

Seštejte \frac{20}{3} in -\frac{20\left(k+1\right)}{3\left(7+k\right)}.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+1 s/z y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Če želite poiskati nasprotno vrednost za ky+y, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$3x-ky-y=20$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Razmislite o drugi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+2 s/z x.

$$kx+2x-10y=40$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-k-1\\k+2&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&-\frac{-k-1}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\\-\frac{k+2}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}&\frac{3}{3\left(-10\right)-\left(-k-1\right)\left(k+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\\-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}&\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\40\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{10}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{k+1}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\\\left(-\frac{k+2}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\right)\times 20+\frac{3}{\left(k-4\right)\left(k+7\right)}\times 40\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{k+7}\\-\frac{20}{k+7}\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+1 s/z y.

$$3x-\left(ky+y\right)=20$$

Če želite poiskati nasprotno vrednost za ky+y, poiščite nasprotno vrednost vsakega izraza.

$$3x-ky-y=20$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20$$

Razmislite o drugi enačbi. Uporabite distributivnost, da pomnožite k+2 s/z x.

$$kx+2x-10y=40$$

Združite vse člene, ki vsebujejo x,y.

$$\left(k+2\right)x-10y=40$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$3x+\left(-k-1\right)y=20,\left(k+2\right)x-10y=40$$

Če želite izenačiti 3x in \left(k+2\right)x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z k+2 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 3.

$$\left(k+2\right)\times 3x+\left(k+2\right)\left(-k-1\right)y=\left(k+2\right)\times 20,3\left(k+2\right)x+3\left(-10\right)y=3\times 40$$

Poenostavite.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40,\left(3k+6\right)x-30y=120$$

Odštejte \left(3k+6\right)x-30y=120 od \left(3k+6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y=20k+40 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$\left(3k+6\right)x+\left(-3k-6\right)x+\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Seštejte 3\left(2+k\right)x in -6x-3xk. Z okrajšanjem izrazov 3\left(2+k\right)x in -6x-3xk ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$\left(-\left(k+1\right)\left(k+2\right)\right)y+30y=20k+40-120$$

Seštejte -\left(k+2\right)\left(k+1\right)y in 30y.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k+40-120$$

Seštejte 20k+40 in -120.

$$\left(4-k\right)\left(k+7\right)y=20k-80$$

Delite obe strani z vrednostjo \left(4-k\right)\left(7+k\right).

$$y=-\frac{20}{k+7}$$

Vstavite -\frac{20}{7+k} za y v enačbi \left(k+2\right)x-10y=40. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$\left(k+2\right)x-10\left(-\frac{20}{k+7}\right)=40$$

Pomnožite -10 s/z -\frac{20}{7+k}.

$$\left(k+2\right)x+\frac{200}{k+7}=40$$

Odštejte \frac{200}{7+k} na obeh straneh enačbe.

$$\left(k+2\right)x=\frac{40\left(k+2\right)}{k+7}$$

Delite obe strani z vrednostjo k+2.

$$x=\frac{40}{k+7}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{40}{k+7},y=-\frac{20}{k+7}$$