Rešite 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Rešitev za x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 3x^{2}+ax+bx+84. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Ker je ab pozitivno, a in b imeti enak znak. Ker je a+b negativen, a in b sta negativna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo 252 izdelka.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -32.

$$a=-18 b=-14$$

Znova zapišite 3x^{2}-32x+84 kot \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Faktor 3x v prvem in -14 v drugi skupini.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Faktor skupnega člena x-6 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite x-6=0 in 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 3 za a, -32 za b in 84 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Kvadrat števila -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 s/z 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 s/z 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Seštejte 1024 in -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Uporabite kvadratni koren števila 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Nasprotna vrednost -32 je 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 s/z 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{32±4}{6}, ko je ± plus. Seštejte 32 in 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Delite 36 s/z 6.

$$x=6$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{32±4}{6}, ko je ± minus. Odštejte 4 od 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{28}{6} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Odštejte 84 na obeh straneh enačbe.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Če število 84 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Z deljenjem s/z 3 razveljavite množenje s/z 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Delite -84 s/z 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Delite -\frac{32}{3}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{16}{3}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{16}{3} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{16}{3} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Seštejte -28 in \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Prištejte \frac{16}{3} na obe strani enačbe.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$