Rešite 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Rešitev za x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 6y na obeh straneh.

$$3x+9-6y=0$$

Odštejte 9 na obeh straneh. Če katero koli število odštejete od nič, dobite negativno vrednost števila.

$$3x-6y=-9$$

Razmislite o drugi enačbi. Dodajte 12 na obe strani. Katero koli število, ki mu prištejete nič, ostane enako.

$$-2x-2y=12$$

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$3x-6y=-9$$

Prištejte 6y na obe strani enačbe.

$$3x=6y-9$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} s/z 6y-9.

$$x=2y-3$$

Vstavite 2y-3 za x v drugo enačbo -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Pomnožite -2 s/z 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Seštejte -4y in -2y.

$$-6y+6=12$$

Odštejte 6 na obeh straneh enačbe.

$$-6y=6$$

Delite obe strani z vrednostjo -6.

$$y=-1$$

Vstavite -1 za y v enačbi x=2y-3. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Pomnožite 2 s/z -1.

$$x=-2-3$$

Seštejte -3 in -2.

$$x=-5$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=-5,y=-1$$

Koraki z uporabo matrik

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 6y na obeh straneh.

$$3x+9-6y=0$$

Odštejte 9 na obeh straneh. Če katero koli število odštejete od nič, dobite negativno vrednost števila.

$$3x-6y=-9$$

Razmislite o drugi enačbi. Dodajte 12 na obe strani. Katero koli število, ki mu prištejete nič, ostane enako.

$$-2x-2y=12$$

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=-5,y=-1$$

Koraki z uporabo izločanja

Razmislite o prvi enačbi. Odštejte 6y na obeh straneh.

$$3x+9-6y=0$$

Odštejte 9 na obeh straneh. Če katero koli število odštejete od nič, dobite negativno vrednost števila.

$$3x-6y=-9$$

Razmislite o drugi enačbi. Dodajte 12 na obe strani. Katero koli število, ki mu prištejete nič, ostane enako.

$$-2x-2y=12$$

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Če želite izenačiti 3x in -2x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z -2 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Poenostavite.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Odštejte -6x-6y=36 od -6x+12y=18 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Seštejte -6x in 6x. Z okrajšanjem izrazov -6x in 6x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$12y+6y=18-36$$

Seštejte 12y in 6y.

$$18y=18-36$$

Seštejte 18 in -36.

$$18y=-18$$

Delite obe strani z vrednostjo 18.

$$y=-1$$

Vstavite -1 za y v enačbi -2x-2y=12. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Pomnožite -2 s/z -1.

$$-2x+2=12$$

Odštejte 2 na obeh straneh enačbe.

$$-2x=10$$

Delite obe strani z vrednostjo -2.

$$x=-5$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=-5,y=-1$$