Rešite 3x+2y=8text{and}5x-4y=6

$$3 x + 2 y = 8 \text { and } 5 x - 4 y = 6$$

Rešitev za x, y

$$x=2$$

$$y=1$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$3x+2y=8$$

Odštejte 2y na obeh straneh enačbe.

$$3x=-2y+8$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+8\right)$$

Pomnožite \frac{1}{3} s/z -2y+8.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

Vstavite \frac{-2y+8}{3} za x v drugo enačbo 5x-4y=6.

$$5\left(-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)-4y=6$$

Pomnožite 5 s/z \frac{-2y+8}{3}.

$$-\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}-4y=6$$

Seštejte -\frac{10y}{3} in -4y.

$$-\frac{22}{3}y+\frac{40}{3}=6$$

Odštejte \frac{40}{3} na obeh straneh enačbe.

$$-\frac{22}{3}y=-\frac{22}{3}$$

Delite obe strani enačbe s/z -\frac{22}{3}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=1$$

Vstavite 1 za y v enačbi x=-\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{-2+8}{3}$$

Seštejte \frac{8}{3} in -\frac{2}{3} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=2$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=2,y=1$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\5&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3\left(-4\right)-2\times 5}&-\frac{2}{3\left(-4\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-4\right)-2\times 5}&\frac{3}{3\left(-4\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{5}{22}&-\frac{3}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{1}{11}\times 6\\\frac{5}{22}\times 8-\frac{3}{22}\times 6\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=2,y=1$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$3x+2y=8,5x-4y=6$$

Če želite izenačiti 3x in 5x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 5 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 3.

$$5\times 3x+5\times 2y=5\times 8,3\times 5x+3\left(-4\right)y=3\times 6$$

Poenostavite.

$$15x+10y=40,15x-12y=18$$

Odštejte 15x-12y=18 od 15x+10y=40 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$15x-15x+10y+12y=40-18$$

Seštejte 15x in -15x. Z okrajšanjem izrazov 15x in -15x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$10y+12y=40-18$$

Seštejte 10y in 12y.

$$22y=40-18$$

Seštejte 40 in -18.

$$22y=22$$

Delite obe strani z vrednostjo 22.

$$y=1$$

Vstavite 1 za y v enačbi 5x-4y=6. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$5x-4=6$$

Prištejte 4 na obe strani enačbe.

$$5x=10$$

Delite obe strani z vrednostjo 5.

$$x=2$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=2,y=1$$