Rešite 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Rešitev za n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$n=3$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 3n^{2}+an+bn-15. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -45 izdelka.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -4.

$$a=-9 b=5$$

Znova zapišite 3n^{2}-4n-15 kot \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Faktor 3n v prvem in 5 v drugi skupini.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Faktor skupnega člena n-3 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite n-3=0 in 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 3 za a, -4 za b in -15 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrat števila -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 s/z 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 s/z -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Seštejte 16 in 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Uporabite kvadratni koren števila 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

Nasprotna vrednost -4 je 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 s/z 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{4±14}{6}, ko je ± plus. Seštejte 4 in 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Delite 18 s/z 6.

$$n=3$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{4±14}{6}, ko je ± minus. Odštejte 14 od 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-10}{6} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Prištejte 15 na obe strani enačbe.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Če število -15 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Odštejte -15 od 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

Z deljenjem s/z 3 razveljavite množenje s/z 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Delite 15 s/z 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Delite -\frac{4}{3}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{2}{3}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{2}{3} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{2}{3} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Seštejte 5 in \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktorizirajte n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Poenostavite.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Prištejte \frac{2}{3} na obe strani enačbe.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$