Rešite 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Rešitev za x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 3 za a, -4 za b in -9 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrat števila -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 s/z 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 s/z -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Seštejte 16 in 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Uporabite kvadratni koren števila 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Nasprotna vrednost -4 je 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 s/z 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}, ko je ± plus. Seštejte 4 in 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Delite 4+2\sqrt{31} s/z 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}, ko je ± minus. Odštejte 2\sqrt{31} od 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Delite 4-2\sqrt{31} s/z 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Prištejte 9 na obe strani enačbe.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Če število -9 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Odštejte -9 od 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

Z deljenjem s/z 3 razveljavite množenje s/z 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Delite 9 s/z 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Delite -\frac{4}{3}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{2}{3}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{2}{3} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{2}{3} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Seštejte 3 in \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Prištejte \frac{2}{3} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$