Rešite 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=12$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 3x^{2}+ax+bx-60. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -180 izdelka.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -31.

$$a=-36 b=5$$

Znova zapišite 3x^{2}-31x-60 kot \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Faktor 3x v prvem in 5 v drugi skupini.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Faktor skupnega člena x-12 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite x-12=0 in 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 3 za a, -31 za b in -60 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrat števila -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 s/z 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 s/z -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Seštejte 961 in 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Uporabite kvadratni koren števila 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

Nasprotna vrednost -31 je 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 s/z 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{31±41}{6}, ko je ± plus. Seštejte 31 in 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Delite 72 s/z 6.

$$x=12$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{31±41}{6}, ko je ± minus. Odštejte 41 od 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-10}{6} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Prištejte 60 na obe strani enačbe.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Če število -60 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Odštejte -60 od 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

Z deljenjem s/z 3 razveljavite množenje s/z 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Delite 60 s/z 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Delite -\frac{31}{3}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{31}{6}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{31}{6} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{31}{6} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Seštejte 20 in \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Prištejte \frac{31}{6} na obe strani enačbe.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$