Rešite 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

Rešitev za x

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2,097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1,430500874$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 3 za a, -2 za b in -9 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrat števila -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -4 s/z 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Pomnožite -12 s/z -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

Seštejte 4 in 108.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

Uporabite kvadratni koren števila 112.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Nasprotna vrednost -2 je 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Pomnožite 2 s/z 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}, ko je ± plus. Seštejte 2 in 4\sqrt{7}.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

Delite 2+4\sqrt{7} s/z 6.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}, ko je ± minus. Odštejte 4\sqrt{7} od 2.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

Delite 2-4\sqrt{7} s/z 6.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

Prištejte 9 na obe strani enačbe.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Če število -9 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Odštejte -9 od 0.

$$3x^{2}-2x=9$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

Z deljenjem s/z 3 razveljavite množenje s/z 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

Delite 9 s/z 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

Delite -\frac{2}{3}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{1}{3}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{1}{3} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{1}{3} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

Seštejte 3 in \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

Prištejte \frac{1}{3} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$