Rešite 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Rešitev za x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 25 s/z 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 7 s/z 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Uporabite lastnost distributivnosti za množenje 35-7x krat 5+x in kombiniranje pogojev podobnosti.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Seštejte 400 in 175, da dobite 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Združite 25x^{2} in -7x^{2}, da dobite 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Odštejte 295 na obeh straneh.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Odštejte 295 od 575, da dobite 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Dodajte 45x^{2} na obe strani.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Združite 18x^{2} in 45x^{2}, da dobite 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 63 za a, 200 za b in 280 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Kvadrat števila 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Pomnožite -4 s/z 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Pomnožite -252 s/z 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Seštejte 40000 in -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Uporabite kvadratni koren števila -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Pomnožite 2 s/z 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, ko je ± plus. Seštejte -200 in 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Delite -200+4i\sqrt{1910} s/z 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}, ko je ± minus. Odštejte 4i\sqrt{1910} od -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Delite -200-4i\sqrt{1910} s/z 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 25 s/z 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 7 s/z 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Uporabite lastnost distributivnosti za množenje 35-7x krat 5+x in kombiniranje pogojev podobnosti.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Seštejte 400 in 175, da dobite 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Združite 25x^{2} in -7x^{2}, da dobite 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Dodajte 45x^{2} na obe strani.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Združite 18x^{2} in 45x^{2}, da dobite 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Odštejte 575 na obeh straneh.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Odštejte 575 od 295, da dobite -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Delite obe strani z vrednostjo 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Z deljenjem s/z 63 razveljavite množenje s/z 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-280}{63} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 7.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Delite \frac{200}{63}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite \frac{100}{63}. Nato dodajte kvadrat števila \frac{100}{63} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek \frac{100}{63} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Seštejte -\frac{40}{9} in \frac{10000}{3969} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Faktorizirajte x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Poenostavite.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Odštejte \frac{100}{63} na obeh straneh enačbe.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$