Rešite 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Rešitev za x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 24x^{2}+ax+bx+21. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Ker je ab pozitivno, a in b imeti enak znak. Ker je a+b negativen, a in b sta negativna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo 504 izdelka.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -65.

$$a=-56 b=-9$$

Znova zapišite 24x^{2}-65x+21 kot \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Faktor 8x v prvem in -3 v drugi skupini.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Faktor skupnega člena 3x-7 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite 3x-7=0 in 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 24 za a, -65 za b in 21 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Kvadrat števila -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Pomnožite -4 s/z 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Pomnožite -96 s/z 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Seštejte 4225 in -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Uporabite kvadratni koren števila 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Nasprotna vrednost -65 je 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Pomnožite 2 s/z 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{65±47}{48}, ko je ± plus. Seštejte 65 in 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{112}{48} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{65±47}{48}, ko je ± minus. Odštejte 47 od 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{18}{48} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Odštejte 21 na obeh straneh enačbe.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Če število 21 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Delite obe strani z vrednostjo 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Z deljenjem s/z 24 razveljavite množenje s/z 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-21}{24} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Delite -\frac{65}{24}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{65}{48}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{65}{48} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{65}{48} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Seštejte -\frac{7}{8} in \frac{4225}{2304} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Prištejte \frac{65}{48} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$