Rešite 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Rešitev za x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 20 za a, -28 za b in -1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Kvadrat števila -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Pomnožite -4 s/z 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Pomnožite -80 s/z -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Seštejte 784 in 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Uporabite kvadratni koren števila 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Nasprotna vrednost -28 je 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Pomnožite 2 s/z 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, ko je ± plus. Seštejte 28 in 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Delite 28+12\sqrt{6} s/z 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}, ko je ± minus. Odštejte 12\sqrt{6} od 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Delite 28-12\sqrt{6} s/z 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Prištejte 1 na obe strani enačbe.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Če število -1 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Odštejte -1 od 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Delite obe strani z vrednostjo 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Z deljenjem s/z 20 razveljavite množenje s/z 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-28}{20} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Delite -\frac{7}{5}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{7}{10}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{7}{10} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{7}{10} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Seštejte \frac{1}{20} in \frac{49}{100} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Prištejte \frac{7}{10} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$