Rešite 2y^2+1/5-y=3(1/5-y)^2-2

$$2 y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } - y = 3 ( \frac { 1 } { 5 } - y ) ^ { 2 } - 2$$

Rešitev za y

$$y = \frac{\sqrt{209} + 1}{10} \approx 1,545683229$$

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}\approx -1,345683229$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 3 s/z \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

Odštejte 2 od \frac{3}{25}, da dobite -\frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Odštejte -\frac{47}{25} na obeh straneh.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y-\left(-\frac{47}{25}\right)=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Nasprotna vrednost -\frac{47}{25} je \frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Dodajte \frac{6}{5}y na obe strani.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

Seštejte \frac{1}{5} in \frac{47}{25}, da dobite \frac{52}{25}.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}-y+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

Združite -y in \frac{6}{5}y, da dobite \frac{1}{5}y.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=3y^{2}$$

Odštejte 3y^{2} na obeh straneh.

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=0$$

Združite 2y^{2} in -3y^{2}, da dobite -y^{2}.

$$-y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y+\frac{52}{25}=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite -1 za a, \frac{1}{5} za b in \frac{52}{25} za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrirajte ulomek \frac{1}{5} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 s/z -1.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}+4\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 s/z \frac{52}{25}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1+208}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Seštejte \frac{1}{25} in \frac{208}{25} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{209}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

Uporabite kvadratni koren števila \frac{209}{25}.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 s/z -1.

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}$$

Zdaj rešite enačbo y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}, ko je ± plus. Seštejte -\frac{1}{5} in \frac{\sqrt{209}}{5}.

$$y=\frac{\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

Delite \frac{-1+\sqrt{209}}{5} s/z -2.

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$

Zdaj rešite enačbo y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}, ko je ± minus. Odštejte \frac{\sqrt{209}}{5} od -\frac{1}{5}.

$$y=\frac{-\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

Delite \frac{-1-\sqrt{209}}{5} s/z -2.

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10} y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 3 s/z \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

Odštejte 2 od \frac{3}{25}, da dobite -\frac{47}{25}.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

Dodajte \frac{6}{5}y na obe strani.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{6}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

Združite -y in \frac{6}{5}y, da dobite \frac{1}{5}y.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

Odštejte 3y^{2} na obeh straneh.

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=-\frac{47}{25}$$

Združite 2y^{2} in -3y^{2}, da dobite -y^{2}.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}$$

Odštejte \frac{1}{5} na obeh straneh.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}-\frac{1}{5}$$

Odštejte \frac{1}{5} od -\frac{47}{25}, da dobite -\frac{52}{25}.

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{52}{25}$$

Delite obe strani z vrednostjo -1.

$$\frac{-y^{2}+\frac{1}{5}y}{-1}=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Z deljenjem s/z -1 razveljavite množenje s/z -1.

$$y^{2}+\frac{\frac{1}{5}}{-1}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Delite \frac{1}{5} s/z -1.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

Delite -\frac{52}{25} s/z -1.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=\frac{52}{25}$$

Delite -\frac{1}{5}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{1}{10}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{1}{10} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{52}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{1}{10} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{52}{25}+\frac{1}{100}$$

Seštejte \frac{52}{25} in \frac{1}{100} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{209}{100}$$

Faktorizirajte y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{209}{100}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{209}{100}}$$

Poenostavite.

$$y-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{209}}{10} y-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{209}}{10}$$

Prištejte \frac{1}{10} na obe strani enačbe.

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10} y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$