Rešite 2x-y=4;x-2y+1=0

$$2 x - y = 4 ; x - 2 y + 1 = 0$$

Rešitev za x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$2x-y=4,x-2y+1=0$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$2x-y=4$$

Prištejte y na obe strani enačbe.

$$2x=y+4$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} s/z y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Vstavite \frac{y}{2}+2 za x v drugo enačbo x-2y+1=0.

$$\frac{1}{2}y+2-2y+1=0$$

Seštejte \frac{y}{2} in -2y.

$$-\frac{3}{2}y+2+1=0$$

Seštejte 2 in 1.

$$-\frac{3}{2}y+3=0$$

Odštejte 3 na obeh straneh enačbe.

$$-\frac{3}{2}y=-3$$

Delite obe strani enačbe s/z -\frac{3}{2}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=2$$

Vstavite 2 za y v enačbi x=\frac{1}{2}y+2. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{1}{2}\times 2+2$$

Pomnožite \frac{1}{2} s/z 2.

$$x=1+2$$

Seštejte 2 in 1.

$$x=3$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=3,y=2$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$2x-y=4,x-2y+1=0$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{2}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=3,y=2$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$2x-y=4,x-2y+1=0$$

Če želite izenačiti 2x in x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 1 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 2.

$$2x-y=4,2x+2\left(-2\right)y+2=0$$

Poenostavite.

$$2x-y=4,2x-4y+2=0$$

Odštejte 2x-4y+2=0 od 2x-y=4 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$2x-2x-y+4y-2=4$$

Seštejte 2x in -2x. Z okrajšanjem izrazov 2x in -2x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-y+4y-2=4$$

Seštejte -y in 4y.

$$3y-2=4$$

Prištejte 2 na obe strani enačbe.

$$3y=6$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$y=2$$

Vstavite 2 za y v enačbi x-2y+1=0. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x-2\times 2+1=0$$

Pomnožite -2 s/z 2.

$$x-4+1=0$$

Seštejte -4 in 1.

$$x-3=0$$

Prištejte 3 na obe strani enačbe.

$$x=3$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=3,y=2$$