Rešite 2x-3y+10=0quadtext{Kaka}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { Kaka } 5 x - y + 4 = 0$$

Rešitev za x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3,230769231$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$2x-3y+10=0$$

Odštejte 10 na obeh straneh enačbe.

$$2x-3y=-10$$

Prištejte 3y na obe strani enačbe.

$$2x=3y-10$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} s/z 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Vstavite \frac{3y}{2}-5 za x v drugo enačbo 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Pomnožite 5 s/z \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Seštejte \frac{15y}{2} in -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Seštejte -25 in 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Prištejte 21 na obe strani enačbe.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Delite obe strani enačbe s/z \frac{13}{2}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=\frac{42}{13}$$

Vstavite \frac{42}{13} za y v enačbi x=\frac{3}{2}y-5. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Pomnožite \frac{3}{2} s/z \frac{42}{13} tako, da pomnožite števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. Nato okrajšajte ulomek na najnižje člene, če je mogoče.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Seštejte -5 in \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Če želite izenačiti 2x in 5x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 5 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Poenostavite.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Odštejte 10x-2y+8=0 od 10x-15y+50=0 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Seštejte 10x in -10x. Z okrajšanjem izrazov 10x in -10x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Seštejte -15y in 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Seštejte 50 in -8.

$$-13y+42=0$$

Odštejte 42 na obeh straneh enačbe.

$$-13y=-42$$

Delite obe strani z vrednostjo -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Vstavite \frac{42}{13} za y v enačbi 5x-y+4=0. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Seštejte -\frac{42}{13} in 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Odštejte \frac{10}{13} na obeh straneh enačbe.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Delite obe strani z vrednostjo 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$