Rešite 2x^2-4x+1<0

$$2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 < 0$$

Rešitev za x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Če želite odpraviti neenakost, faktorizirajte levo stran. Kvadratni polinom je mogoče faktorizirati s transformacijo ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kjer sta x_{1} in x_{2} rešitvi kvadratne enačbe ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-4x+1=0$$

Vse enačbe oblike ax^{2}+bx+c=0 je mogoče rešiti s kvadratno enačbo: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Nadomestek 2 za a, -4 za b, in 1 za c v kvadratni enačbi.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Izvedi izračune.

$$x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

Rešite enačbo x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}, če je ± plus in če je ± minus.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Znova zapišite neenakost s pridobljenimi rešitvami.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)<0$$

Za negativen izdelek morata biti znaka za x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) in x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) nasprotna. Poglejmo si primer, ko je x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) pozitiven in x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) negativen.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

To je za vsak x »false«.

$$x\in \emptyset$$

Poglejmo si primer, ko je x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) pozitiven in x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) negativen.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Rešitev, ki izpolnjuje obe neenakosti je x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Končna rešitev je združitev pridobljenih rešitev.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$