Rešite 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Rešitev za x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 2 za a, -2 za b in -1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrat števila -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 s/z 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 s/z -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Seštejte 4 in 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Nasprotna vrednost vrednosti -2 je 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 s/z 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, ko je ± plus. Seštejte 2 in 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Delite 2+2\sqrt{3} s/z 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, ko je ± minus. Odštejte 2\sqrt{3} od 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Delite 2-2\sqrt{3} s/z 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Prištejte 1 na obe strani enačbe.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Če število -1 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Odštejte -1 od 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Z deljenjem s/z 2 razveljavite množenje s/z 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Delite -2 s/z 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Delite -1, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{1}{2}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{1}{2} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{1}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Seštejte \frac{1}{2} in \frac{1}{4} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Faktorizirajte x^{2}-x+\frac{1}{4}. Če je x^{2}+bx+c popolni kvadrat, ga je na splošno mogoče vedno faktorizirati kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Prištejte \frac{1}{2} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$