Rešite 2x^2+5x+1<0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x + 1 < 0$$

Rešitev za x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Če želite odpraviti neenakost, faktorizirajte levo stran. Kvadratni polinom je mogoče faktorizirati s transformacijo ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kjer sta x_{1} in x_{2} rešitvi kvadratne enačbe ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+5x+1=0$$

Vse enačbe oblike ax^{2}+bx+c=0 je mogoče rešiti s kvadratno enačbo: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Nadomestek 2 za a, 5 za b, in 1 za c v kvadratni enačbi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Izvedi izračune.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$$

Rešite enačbo x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}, če je ± plus in če je ± minus.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{17}-5}{4}$$

Znova zapišite neenakost s pridobljenimi rešitvami.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}\right)<0$$

Za negativen izdelek morata biti znaka za x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} in x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} nasprotna. Poglejmo si primer, ko je x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} pozitiven in x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} negativen.

$$x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}<0$$

To je za vsak x »false«.

$$x\in \emptyset$$

Poglejmo si primer, ko je x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} pozitiven in x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} negativen.

$$x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Rešitev, ki izpolnjuje obe neenakosti je x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Končna rešitev je združitev pridobljenih rešitev.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$