Rešite 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Rešitev za x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$2x+y=1$$

Odštejte y na obeh straneh enačbe.

$$2x=-y+1$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} s/z -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Vstavite \frac{-y+1}{2} za x v drugo enačbo x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Seštejte -\frac{y}{2} in -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Odštejte \frac{1}{2} na obeh straneh enačbe.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Delite obe strani enačbe s/z -\frac{3}{2}, kar je enako množenju obeh strani enačbe z obratnim ulomkom.

$$y=3$$

Vstavite 3 za y v enačbi x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Pomnožite -\frac{1}{2} s/z 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Seštejte \frac{1}{2} in -\frac{3}{2} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x=-1$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=-1,y=3$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=-1,y=3$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Če želite izenačiti 2x in x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 1 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Poenostavite.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Odštejte 2x-2y=-8 od 2x+y=1 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Seštejte 2x in -2x. Z okrajšanjem izrazov 2x in -2x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$y+2y=1+8$$

Seštejte y in 2y.

$$3y=1+8$$

Seštejte 1 in 8.

$$3y=9$$

Delite obe strani z vrednostjo 3.

$$y=3$$

Vstavite 3 za y v enačbi x-y=-4. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x-3=-4$$

Prištejte 3 na obe strani enačbe.

$$x=-1$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=-1,y=3$$