Rešite 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Rešitev za x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$2x+3y=6$$

Odštejte 3y na obeh straneh enačbe.

$$2x=-3y+6$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} s/z -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Vstavite -\frac{3y}{2}+3 za x v drugo enačbo 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Pomnožite 6 s/z -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Seštejte -9y in -5y.

$$-14y+18=4$$

Odštejte 18 na obeh straneh enačbe.

$$-14y=-14$$

Delite obe strani z vrednostjo -14.

$$y=1$$

Vstavite 1 za y v enačbi x=-\frac{3}{2}y+3. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Seštejte 3 in -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Če želite izenačiti 2x in 6x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 6 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Poenostavite.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Odštejte 12x-10y=8 od 12x+18y=36 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Seštejte 12x in -12x. Z okrajšanjem izrazov 12x in -12x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$18y+10y=36-8$$

Seštejte 18y in 10y.

$$28y=36-8$$

Seštejte 36 in -8.

$$28y=28$$

Delite obe strani z vrednostjo 28.

$$y=1$$

Vstavite 1 za y v enačbi 6x-5y=4. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$6x-5=4$$

Prištejte 5 na obe strani enačbe.

$$6x=9$$

Delite obe strani z vrednostjo 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$