Rešite 2x+3y=18text{stit}6x+ky=50

$$2 x + 3 y = 18 \text { stit } 6 x + k y = 50$$

Rešitev za x, y

$$x=-\frac{3\left(25-3k\right)}{k-9}$$

$$y=-\frac{4}{k-9}$$

$$k\neq 9$$

Koraki z uporabo vstavljanja

Če želite rešili par enačb z vstavljanjem, najprej rešiti eno od enačb za eno od spremenljivk. Nato vstavite rezultat za to spremenljivko v drugo enačbo.

$$2x+3y=18,6x+ky=50$$

Izberite eno od enačb in jo rešite za x z osamitvijo x na levi strani enačaja.

$$2x+3y=18$$

Odštejte 3y na obeh straneh enačbe.

$$2x=-3y+18$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18\right)$$

Pomnožite \frac{1}{2} s/z -3y+18.

$$x=-\frac{3}{2}y+9$$

Vstavite -\frac{3y}{2}+9 za x v drugo enačbo 6x+ky=50.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+9\right)+ky=50$$

Pomnožite 6 s/z -\frac{3y}{2}+9.

$$-9y+54+ky=50$$

Seštejte -9y in ky.

$$\left(k-9\right)y+54=50$$

Odštejte 54 na obeh straneh enačbe.

$$\left(k-9\right)y=-4$$

Delite obe strani z vrednostjo -9+k.

$$y=-\frac{4}{k-9}$$

Vstavite -\frac{4}{-9+k} za y v enačbi x=-\frac{3}{2}y+9. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$x=-\frac{3}{2}\left(-\frac{4}{k-9}\right)+9$$

Pomnožite -\frac{3}{2} s/z -\frac{4}{-9+k}.

$$x=\frac{6}{k-9}+9$$

Seštejte 9 in \frac{6}{-9+k}.

$$x=\frac{3\left(3k-25\right)}{k-9}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{3\left(3k-25\right)}{k-9},y=-\frac{4}{k-9}$$

Koraki z uporabo matrik

Pretvorite enačbe v standardno obliko in nato uporabite matrike za rešitev sistema enačb.

$$2x+3y=18,6x+ky=50$$

Napišite enačbe v matrični obliki.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\50\end{matrix}\right)$$

Pomnožite levo enačbo z inverzno matriko \left(\begin{matrix}2&3\\6&k\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\50\end{matrix}\right)$$

Izdelek matrike in inverzne matrike je matrika identitete.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\50\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike na levi strani enačaja.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\50\end{matrix}\right)$$

Za matriko 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)je inverzna matrika \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zato lahko enačbo matrike znova napišete kot težavo z množenjem matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-3\times 6}&-\frac{3}{2k-3\times 6}\\-\frac{6}{2k-3\times 6}&\frac{2}{2k-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\50\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k-9\right)}&-\frac{3}{2\left(k-9\right)}\\-\frac{3}{k-9}&\frac{1}{k-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\50\end{matrix}\right)$$

Pomnožite matrike.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k-9\right)}\times 18+\left(-\frac{3}{2\left(k-9\right)}\right)\times 50\\\left(-\frac{3}{k-9}\right)\times 18+\frac{1}{k-9}\times 50\end{matrix}\right)$$

Izračunajte račun.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(3k-25\right)}{k-9}\\-\frac{4}{k-9}\end{matrix}\right)$$

Ekstrahirajte elemente matrike x in y.

$$x=\frac{3\left(3k-25\right)}{k-9},y=-\frac{4}{k-9}$$

Koraki z uporabo izločanja

Za rešitev z izločevanjem morajo biti koeficienti ene od spremenljivk enaki v obeh enačbah, da bo spremenljivka okrajšana, ko bo ena enačba odšteta od druge.

$$2x+3y=18,6x+ky=50$$

Če želite izenačiti 2x in 6x, pomnožite vse člene na vsaki strani prve enačbe s/z 6 in vse člene na vsaki strani druge enačbe s/z 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 18,2\times 6x+2ky=2\times 50$$

Poenostavite.

$$12x+18y=108,12x+2ky=100$$

Odštejte 12x+2ky=100 od 12x+18y=108 tako, da odštejete podobne člene na vsaki strani enačaja.

$$12x-12x+18y+\left(-2k\right)y=108-100$$

Seštejte 12x in -12x. Z okrajšanjem izrazov 12x in -12x ostane v enačbi samo ena spremenljivka, ki jo je mogoče rešiti.

$$18y+\left(-2k\right)y=108-100$$

Seštejte 18y in -2ky.

$$\left(18-2k\right)y=108-100$$

Seštejte 108 in -100.

$$\left(18-2k\right)y=8$$

Delite obe strani z vrednostjo 18-2k.

$$y=\frac{4}{9-k}$$

Vstavite \frac{4}{9-k} za y v enačbi 6x+ky=50. Nastala enačba vsebuje samo eno spremenljivko, zato jo lahko za x rešite neposredno.

$$6x+k\times \frac{4}{9-k}=50$$

Pomnožite k s/z \frac{4}{9-k}.

$$6x+\frac{4k}{9-k}=50$$

Odštejte \frac{4k}{9-k} na obeh straneh enačbe.

$$6x=\frac{18\left(25-3k\right)}{9-k}$$

Delite obe strani z vrednostjo 6.

$$x=\frac{3\left(25-3k\right)}{9-k}$$

Sistem je zdaj rešen.

$$x=\frac{3\left(25-3k\right)}{9-k},y=\frac{4}{9-k}$$