Rešite 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktorizirajte levo stran z združevanjem. Najprej je treba na levi strani prepisati kot 2x^{2}+ax+bx-40. Če želite najti a in b, nastavite sistem, ki ga želite rešiti.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Ker ab je negativen, a in b imajo nasprotne znake. Ker je a+b negativen, ima negativno število večjo absolutno vrednost kot pozitivna. Seznam vseh teh celih parov, ki omogočajo -80 izdelka.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Rešitev je par, ki daje vsoto -11.

$$a=-16 b=5$$

Znova zapišite 2x^{2}-11x-40 kot \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Faktoriziranje 2x v prvi in 5 v drugi skupini.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Faktoriziranje skupnega člena x-8 z uporabo lastnosti odklona.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Če želite najti rešitve enačbe, razrešite x-8=0 in 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 2 za a, -11 za b in -40 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrat števila -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 s/z 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 s/z -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Seštejte 121 in 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Nasprotna vrednost vrednosti -11 je 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 s/z 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{11±21}{4}, ko je ± plus. Seštejte 11 in 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Delite 32 s/z 4.

$$x=8$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{11±21}{4}, ko je ± minus. Odštejte 21 od 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-10}{4} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Prištejte 40 na obe strani enačbe.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Če število -40 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Odštejte -40 od 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Z deljenjem s/z 2 razveljavite množenje s/z 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Delite 40 s/z 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Delite -\frac{11}{2}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{11}{4}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{11}{4} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{11}{4} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Seštejte 20 in \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. Če je x^{2}+bx+c popolni kvadrat, ga je na splošno mogoče vedno faktorizirati kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Prištejte \frac{11}{4} na obe strani enačbe.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$