Rešite 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Rešitev za n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 13n^{2}+an+bn-120. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -1560 izdelka.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -41.

$$a=-65 b=24$$

Znova zapišite 13n^{2}-41n-120 kot \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Faktor 13n v prvem in 24 v drugi skupini.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Faktor skupnega člena n-5 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite n-5=0 in 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 13 za a, -41 za b in -120 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Kvadrat števila -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Pomnožite -4 s/z 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Pomnožite -52 s/z -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Seštejte 1681 in 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Uporabite kvadratni koren števila 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Nasprotna vrednost -41 je 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Pomnožite 2 s/z 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{41±89}{26}, ko je ± plus. Seštejte 41 in 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Delite 130 s/z 26.

$$n=5$$

Zdaj rešite enačbo n=\frac{41±89}{26}, ko je ± minus. Odštejte 89 od 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-48}{26} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Prištejte 120 na obe strani enačbe.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Če število -120 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Odštejte -120 od 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Delite obe strani z vrednostjo 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Z deljenjem s/z 13 razveljavite množenje s/z 13.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Delite -\frac{41}{13}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{41}{26}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{41}{26} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{41}{26} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Seštejte \frac{120}{13} in \frac{1681}{676} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Faktorizirajte n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Poenostavite.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Prištejte \frac{41}{26} na obe strani enačbe.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$