Rešite 10x^2+67x-21=0

$$10 x ^ { 2 } + 67 x - 21 = 0$$

Rešitev za x

$$x=-7$$

$$x=\frac{3}{10}=0,3$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 10x^{2}+ax+bx-21. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=67 ab=10\left(-21\right)=-210$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. Ker je a+b pozitivno, je pozitivno število večje absolutno vrednosti kot negativno. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -210 izdelka.

$$-1,210 -2,105 -3,70 -5,42 -6,35 -7,30 -10,21 -14,15$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1+210=209 -2+105=103 -3+70=67 -5+42=37 -6+35=29 -7+30=23 -10+21=11 -14+15=1$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto 67.

$$a=-3 b=70$$

Znova zapišite 10x^{2}+67x-21 kot \left(10x^{2}-3x\right)+\left(70x-21\right).

$$\left(10x^{2}-3x\right)+\left(70x-21\right)$$

Faktor x v prvem in 7 v drugi skupini.

$$x\left(10x-3\right)+7\left(10x-3\right)$$

Faktor skupnega člena 10x-3 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(10x-3\right)\left(x+7\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite 10x-3=0 in x+7=0.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$10x^{2}+67x-21=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 10 za a, 67 za b in -21 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-67±\sqrt{67^{2}-4\times 10\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrat števila 67.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-4\times 10\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -4 s/z 10.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489-40\left(-21\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -40 s/z -21.

$$x=\frac{-67±\sqrt{4489+840}}{2\times 10}$$

Seštejte 4489 in 840.

$$x=\frac{-67±\sqrt{5329}}{2\times 10}$$

Uporabite kvadratni koren števila 5329.

$$x=\frac{-67±73}{2\times 10}$$

Pomnožite 2 s/z 10.

$$x=\frac{-67±73}{20}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-67±73}{20}, ko je ± plus. Seštejte -67 in 73.

$$x=\frac{6}{20}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{6}{20} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x=\frac{3}{10}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-67±73}{20}, ko je ± minus. Odštejte 73 od -67.

$$x=-\frac{140}{20}$$

Delite -140 s/z 20.

$$x=-7$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+67x-21=0$$

Prištejte 21 na obe strani enačbe.

$$10x^{2}+67x-21-\left(-21\right)=-\left(-21\right)$$

Če število -21 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$10x^{2}+67x=-\left(-21\right)$$

Odštejte -21 od 0.

$$10x^{2}+67x=21$$

Delite obe strani z vrednostjo 10.

$$\frac{10x^{2}+67x}{10}=\frac{21}{10}$$

Z deljenjem s/z 10 razveljavite množenje s/z 10.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x=\frac{21}{10}$$

Delite \frac{67}{10}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite \frac{67}{20}. Nato dodajte kvadrat števila \frac{67}{20} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\left(\frac{67}{20}\right)^{2}=\frac{21}{10}+\left(\frac{67}{20}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek \frac{67}{20} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}=\frac{21}{10}+\frac{4489}{400}$$

Seštejte \frac{21}{10} in \frac{4489}{400} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}=\frac{5329}{400}$$

Faktorizirajte x^{2}+\frac{67}{10}x+\frac{4489}{400}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{67}{20}\right)^{2}=\frac{5329}{400}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x+\frac{67}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5329}{400}}$$

Poenostavite.

$$x+\frac{67}{20}=\frac{73}{20} x+\frac{67}{20}=-\frac{73}{20}$$

Odštejte \frac{67}{20} na obeh straneh enačbe.

$$x=\frac{3}{10} x=-7$$