Rešite 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Rešitev za k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 10k^{2}+ak+bk-1. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. Ker je a+b pozitivno, je pozitivno število večje absolutno vrednosti kot negativno. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -10 izdelka.

$$-1,10 -2,5$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto 9.

$$a=-1 b=10$$

Znova zapišite 10k^{2}+9k-1 kot \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Faktorizirajte k v 10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Faktor skupnega člena 10k-1 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite 10k-1=0 in k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 10 za a, 9 za b in -1 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrat števila 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -4 s/z 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -40 s/z -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Seštejte 81 in 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Uporabite kvadratni koren števila 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Pomnožite 2 s/z 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Zdaj rešite enačbo k=\frac{-9±11}{20}, ko je ± plus. Seštejte -9 in 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{2}{20} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$k=\frac{1}{10}$$

Zdaj rešite enačbo k=\frac{-9±11}{20}, ko je ± minus. Odštejte 11 od -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Delite -20 s/z 20.

$$k=-1$$

Enačba je zdaj rešena.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Prištejte 1 na obe strani enačbe.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Če število -1 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Odštejte -1 od 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Delite obe strani z vrednostjo 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Z deljenjem s/z 10 razveljavite množenje s/z 10.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Delite \frac{9}{10}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite \frac{9}{20}. Nato dodajte kvadrat števila \frac{9}{20} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek \frac{9}{20} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Seštejte \frac{1}{10} in \frac{81}{400} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktorizirajte k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Poenostavite.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Odštejte \frac{9}{20} na obeh straneh enačbe.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$