Rešite 10x^2+19x-15=0

$$10 { x }^{ 2 } +19x-15=0$$

Rešitev za x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Če želite rešiti enačbo, faktorizirajte levo stran z združevanjem. Najprej je treba na levi strani prepisati kot 10x^{2}+ax+bx-15. Če želite najti a in b, nastavite sistem, ki ga želite rešiti.

$$a+b=19 ab=10\left(-15\right)=-150$$

Ker ab je negativen, a in b imajo nasprotne znake. Ker je a+b pozitivno, ima pozitivno število večjo absolutno vrednost kot negativna. Seznam vseh teh celih parov, ki omogočajo -150 izdelka.

$$-1,150 -2,75 -3,50 -5,30 -6,25 -10,15$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1+150=149 -2+75=73 -3+50=47 -5+30=25 -6+25=19 -10+15=5$$

Rešitev je par, ki daje vsoto 19.

$$a=-6 b=25$$

Znova zapišite 10x^{2}+19x-15 kot \left(10x^{2}-6x\right)+\left(25x-15\right).

$$\left(10x^{2}-6x\right)+\left(25x-15\right)$$

Faktoriziranje 2x v prvi in 5 v drugi skupini.

$$2x\left(5x-3\right)+5\left(5x-3\right)$$

Faktoriziranje skupnega člena 5x-3 z uporabo lastnosti odklona.

$$\left(5x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Če želite najti rešitve enačbe, razrešite 5x-3=0 in 2x+5=0.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{2}$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$10x^{2}+19x-15=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 10 za a, 19 za b in -15 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Kvadrat števila 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 10\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -4 s/z 10.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-40\left(-15\right)}}{2\times 10}$$

Pomnožite -40 s/z -15.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+600}}{2\times 10}$$

Seštejte 361 in 600.

$$x=\frac{-19±\sqrt{961}}{2\times 10}$$

Uporabite kvadratni koren števila 961.

$$x=\frac{-19±31}{2\times 10}$$

Pomnožite 2 s/z 10.

$$x=\frac{-19±31}{20}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-19±31}{20}, ko je ± plus. Seštejte -19 in 31.

$$x=\frac{12}{20}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{12}{20} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 4.

$$x=\frac{3}{5}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-19±31}{20}, ko je ± minus. Odštejte 31 od -19.

$$x=-\frac{50}{20}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{-50}{20} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 10.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{2}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+19x-15=0$$

Prištejte 15 na obe strani enačbe.

$$10x^{2}+19x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Če število -15 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$10x^{2}+19x=-\left(-15\right)$$

Odštejte -15 od 0.

$$10x^{2}+19x=15$$

Delite obe strani z vrednostjo 10.

$$\frac{10x^{2}+19x}{10}=\frac{15}{10}$$

Z deljenjem s/z 10 razveljavite množenje s/z 10.

$$x^{2}+\frac{19}{10}x=\frac{15}{10}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{15}{10} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 5.

$$x^{2}+\frac{19}{10}x=\frac{3}{2}$$

Delite \frac{19}{10}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite \frac{19}{20}. Nato dodajte kvadrat števila \frac{19}{20} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}+\frac{19}{10}x+\left(\frac{19}{20}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{19}{20}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek \frac{19}{20} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}+\frac{19}{10}x+\frac{361}{400}=\frac{3}{2}+\frac{361}{400}$$

Seštejte \frac{3}{2} in \frac{361}{400} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}+\frac{19}{10}x+\frac{361}{400}=\frac{961}{400}$$

Faktorizirajte x^{2}+\frac{19}{10}x+\frac{361}{400}. Če je x^{2}+bx+c popolni kvadrat, ga je na splošno mogoče vedno faktorizirati kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{20}\right)^{2}=\frac{961}{400}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{400}}$$

Poenostavite.

$$x+\frac{19}{20}=\frac{31}{20} x+\frac{19}{20}=-\frac{31}{20}$$

Odštejte \frac{19}{20} na obeh straneh enačbe.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{5}{2}$$