Rešite -x^2+14x=-11

$$- x ^ { 2 } + 14 x = - 11$$

Rešitev za x

$$x=2\sqrt{15}+7\approx 14,745966692$$

$$x=7-2\sqrt{15}\approx -0,745966692$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$-x^{2}+14x=-11$$

Prištejte 11 na obe strani enačbe.

$$-x^{2}+14x-\left(-11\right)=-11-\left(-11\right)$$

Če število -11 odštejete od enakega števila, dobite 0.

$$-x^{2}+14x-\left(-11\right)=0$$

Odštejte -11 od 0.

$$-x^{2}+14x+11=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite -1 za a, 14 za b in 11 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrat števila 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite -4 s/z -1.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 4 s/z 11.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+44}}{2\left(-1\right)}$$

Seštejte 196 in 44.

$$x=\frac{-14±\sqrt{240}}{2\left(-1\right)}$$

Uporabite kvadratni koren števila 240.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnožite 2 s/z -1.

$$x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2}, ko je ± plus. Seštejte -14 in 4\sqrt{15}.

$$x=\frac{4\sqrt{15}-14}{-2}$$

Delite -14+4\sqrt{15} s/z -2.

$$x=7-2\sqrt{15}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-14±4\sqrt{15}}{-2}, ko je ± minus. Odštejte 4\sqrt{15} od -14.

$$x=\frac{-4\sqrt{15}-14}{-2}$$

Delite -14-4\sqrt{15} s/z -2.

$$x=2\sqrt{15}+7$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=7-2\sqrt{15} x=2\sqrt{15}+7$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+14x=-11$$

Delite obe strani z vrednostjo -1.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

Z deljenjem s/z -1 razveljavite množenje s/z -1.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Delite 14 s/z -1.

$$x^{2}-14x=-\frac{11}{-1}$$

Delite -11 s/z -1.

$$x^{2}-14x=11$$

Delite -14, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -7. Nato dodajte kvadrat števila -7 na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=11+\left(-7\right)^{2}$$

Kvadrat števila -7.

$$x^{2}-14x+49=11+49$$

Seštejte 11 in 49.

$$x^{2}-14x+49=60$$

Faktorizirajte x^{2}-14x+49. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=60$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{60}$$

Poenostavite.

$$x-7=2\sqrt{15} x-7=-2\sqrt{15}$$

Prištejte 7 na obe strani enačbe.

$$x=2\sqrt{15}+7 x=7-2\sqrt{15}$$