Rešite -2x^2+12x-14>0

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Rešitev za x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Pomnoži neenakost z -1, da bo koeficient največje pozitivne potence -2x^{2}+12x-14. Ker je -1 negativno, se smer neenakost spremeni.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Če želite odpraviti neenakost, faktorizirajte levo stran. Kvadratni polinom je mogoče faktorizirati s transformacijo ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kjer sta x_{1} in x_{2} rešitvi kvadratne enačbe ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Vse enačbe oblike ax^{2}+bx+c=0 je mogoče rešiti s kvadratno enačbo: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Nadomestek 2 za a, -12 za b, in 14 za c v kvadratni enačbi.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Izvedi izračune.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

Rešite enačbo x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}, če je ± plus in če je ± minus.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Znova zapišite neenakost s pridobljenimi rešitvami.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Za negativen izdelek morata biti znaka za x-\left(\sqrt{2}+3\right) in x-\left(3-\sqrt{2}\right) nasprotna. Poglejmo si primer, ko je x-\left(\sqrt{2}+3\right) pozitiven in x-\left(3-\sqrt{2}\right) negativen.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

To je za vsak x »false«.

$$x\in \emptyset$$

Poglejmo si primer, ko je x-\left(3-\sqrt{2}\right) pozitiven in x-\left(\sqrt{2}+3\right) negativen.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Rešitev, ki izpolnjuje obe neenakosti je x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Končna rešitev je združitev pridobljenih rešitev.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$