Rešite (x-5)^2+(4x-22+2)^2=34

$$( x - 5 ) ^ { 2 } + ( 4 x - 22 + 2 ) ^ { 2 } = 34$$

Rešitev za x

$$x=\sqrt{2}+5\approx 6,414213562$$

$$x=5-\sqrt{2}\approx 3,585786438$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(x-5\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25+\left(4x-22+2\right)^{2}=34$$

Seštejte -22 in 2, da dobite -20.

$$x^{2}-10x+25+\left(4x-20\right)^{2}=34$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(4x-20\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25+16x^{2}-160x+400=34$$

Združite x^{2} in 16x^{2}, da dobite 17x^{2}.

$$17x^{2}-10x+25-160x+400=34$$

Združite -10x in -160x, da dobite -170x.

$$17x^{2}-170x+25+400=34$$

Seštejte 25 in 400, da dobite 425.

$$17x^{2}-170x+425=34$$

Odštejte 34 na obeh straneh.

$$17x^{2}-170x+425-34=0$$

Odštejte 34 od 425, da dobite 391.

$$17x^{2}-170x+391=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 17 za a, -170 za b in 391 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-170\right)±\sqrt{\left(-170\right)^{2}-4\times 17\times 391}}{2\times 17}$$

Kvadrat števila -170.

$$x=\frac{-\left(-170\right)±\sqrt{28900-4\times 17\times 391}}{2\times 17}$$

Pomnožite -4 s/z 17.

$$x=\frac{-\left(-170\right)±\sqrt{28900-68\times 391}}{2\times 17}$$

Pomnožite -68 s/z 391.

$$x=\frac{-\left(-170\right)±\sqrt{28900-26588}}{2\times 17}$$

Seštejte 28900 in -26588.

$$x=\frac{-\left(-170\right)±\sqrt{2312}}{2\times 17}$$

Uporabite kvadratni koren števila 2312.

$$x=\frac{-\left(-170\right)±34\sqrt{2}}{2\times 17}$$

Nasprotna vrednost -170 je 170.

$$x=\frac{170±34\sqrt{2}}{2\times 17}$$

Pomnožite 2 s/z 17.

$$x=\frac{170±34\sqrt{2}}{34}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{170±34\sqrt{2}}{34}, ko je ± plus. Seštejte 170 in 34\sqrt{2}.

$$x=\frac{34\sqrt{2}+170}{34}$$

Delite 170+34\sqrt{2} s/z 34.

$$x=\sqrt{2}+5$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{170±34\sqrt{2}}{34}, ko je ± minus. Odštejte 34\sqrt{2} od 170.

$$x=\frac{170-34\sqrt{2}}{34}$$

Delite 170-34\sqrt{2} s/z 34.

$$x=5-\sqrt{2}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\sqrt{2}+5 x=5-\sqrt{2}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(x-5\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25+\left(4x-22+2\right)^{2}=34$$

Seštejte -22 in 2, da dobite -20.

$$x^{2}-10x+25+\left(4x-20\right)^{2}=34$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(4x-20\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25+16x^{2}-160x+400=34$$

Združite x^{2} in 16x^{2}, da dobite 17x^{2}.

$$17x^{2}-10x+25-160x+400=34$$

Združite -10x in -160x, da dobite -170x.

$$17x^{2}-170x+25+400=34$$

Seštejte 25 in 400, da dobite 425.

$$17x^{2}-170x+425=34$$

Odštejte 425 na obeh straneh.

$$17x^{2}-170x=34-425$$

Odštejte 425 od 34, da dobite -391.

$$17x^{2}-170x=-391$$

Delite obe strani z vrednostjo 17.

$$\frac{17x^{2}-170x}{17}=-\frac{391}{17}$$

Z deljenjem s/z 17 razveljavite množenje s/z 17.

$$x^{2}+\left(-\frac{170}{17}\right)x=-\frac{391}{17}$$

Delite -170 s/z 17.

$$x^{2}-10x=-\frac{391}{17}$$

Delite -391 s/z 17.

$$x^{2}-10x=-23$$

Delite -10, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -5. Nato dodajte kvadrat števila -5 na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-23+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrat števila -5.

$$x^{2}-10x+25=-23+25$$

Seštejte -23 in 25.

$$x^{2}-10x+25=2$$

Faktorizirajte x^{2}-10x+25. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=2$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Poenostavite.

$$x-5=\sqrt{2} x-5=-\sqrt{2}$$

Prištejte 5 na obe strani enačbe.

$$x=\sqrt{2}+5 x=5-\sqrt{2}$$