Rešite (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Rešitev za x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Razmislite o \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrat števila 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Razčlenite \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Izračunajte potenco 3 števila 2, da dobite 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Združite x^{2} in 9x^{2}, da dobite 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Odštejte 64 od 9, da dobite -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Seštejte -55 in 1, da dobite -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x s/z x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 3 s/z x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Odštejte 3x^{2} na obeh straneh.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Združite 10x^{2} in -3x^{2}, da dobite 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Odštejte 9x na obeh straneh.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Združite 6x in -9x, da dobite -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Odštejte 18 na obeh straneh.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Odštejte 18 od -54, da dobite -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot 7x^{2}+ax+bx-72. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. a+b je negativno, negativna številka pa je večja absolutna vrednost kot pozitivna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -504 izdelka.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -3.

$$a=-24 b=21$$

Znova zapišite 7x^{2}-3x-72 kot \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Faktor x v prvem in 3 v drugi skupini.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Faktor skupnega člena 7x-24 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite 7x-24=0 in x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Razmislite o \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrat števila 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Razčlenite \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Izračunajte potenco 3 števila 2, da dobite 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Združite x^{2} in 9x^{2}, da dobite 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Odštejte 64 od 9, da dobite -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Seštejte -55 in 1, da dobite -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x s/z x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 3 s/z x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Odštejte 3x^{2} na obeh straneh.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Združite 10x^{2} in -3x^{2}, da dobite 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Odštejte 9x na obeh straneh.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Združite 6x in -9x, da dobite -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Odštejte 18 na obeh straneh.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Odštejte 18 od -54, da dobite -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 7 za a, -3 za b in -72 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Kvadrat števila -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -4 s/z 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Pomnožite -28 s/z -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Seštejte 9 in 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Uporabite kvadratni koren števila 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

Nasprotna vrednost -3 je 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Pomnožite 2 s/z 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{3±45}{14}, ko je ± plus. Seštejte 3 in 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Zmanjšajte ulomek \frac{48}{14} na najmanjši imenovalec tako, da izpeljete in okrajšate 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{3±45}{14}, ko je ± minus. Odštejte 45 od 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Delite -42 s/z 14.

$$x=-3$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Razmislite o \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrat števila 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Razčlenite \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Izračunajte potenco 3 števila 2, da dobite 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Združite x^{2} in 9x^{2}, da dobite 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Odštejte 64 od 9, da dobite -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Seštejte -55 in 1, da dobite -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite x s/z x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 3 s/z x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Odštejte 3x^{2} na obeh straneh.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Združite 10x^{2} in -3x^{2}, da dobite 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Odštejte 9x na obeh straneh.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Združite 6x in -9x, da dobite -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Dodajte 54 na obe strani.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Seštejte 18 in 54, da dobite 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Delite obe strani z vrednostjo 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Z deljenjem s/z 7 razveljavite množenje s/z 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Delite -\frac{3}{7}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{3}{14}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{3}{14} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{3}{14} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Seštejte \frac{72}{7} in \frac{9}{196} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Prištejte \frac{3}{14} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$