Rešite (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Rešitev za x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 2 s/z 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Seštejte 81 in 162, da dobite 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Združite -90x in -180x, da dobite -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Združite 25x^{2} in 50x^{2}, da dobite 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Odštejte 24 od 243, da dobite 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Če želite odpraviti neenakost, faktorizirajte levo stran. Kvadratni polinom je mogoče faktorizirati s transformacijo ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kjer sta x_{1} in x_{2} rešitvi kvadratne enačbe ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Vse enačbe oblike ax^{2}+bx+c=0 je mogoče rešiti s kvadratno enačbo: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Nadomestek 75 za a, -270 za b, in 219 za c v kvadratni enačbi.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Izvedi izračune.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Rešite enačbo x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}, če je ± plus in če je ± minus.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Znova zapišite neenakost s pridobljenimi rešitvami.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Za negativen izdelek morata biti znaka za x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} in x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} nasprotna. Poglejmo si primer, ko je x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} pozitiven in x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} negativen.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

To je za vsak x »false«.

$$x\in \emptyset$$

Poglejmo si primer, ko je x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} pozitiven in x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} negativen.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Rešitev, ki izpolnjuje obe neenakosti je x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Končna rešitev je združitev pridobljenih rešitev.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$