Rešite (4x-1)^2=(x-1)(x+1)

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Rešitev za x (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0,266666667+0,249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0,266666667-0,249443826i$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(4x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Razmislite o \left(x-1\right)\left(x+1\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrat števila 1.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Odštejte x^{2} na obeh straneh.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Združite 16x^{2} in -x^{2}, da dobite 15x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Dodajte 1 na obe strani.

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

Seštejte 1 in 1, da dobite 2.

$$15x^{2}-8x+2=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 15 za a, -8 za b in 2 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Kvadrat števila -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Pomnožite -4 s/z 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

Pomnožite -60 s/z 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

Seštejte 64 in -120.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

Uporabite kvadratni koren števila -56.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Nasprotna vrednost -8 je 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

Pomnožite 2 s/z 15.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}, ko je ± plus. Seštejte 8 in 2i\sqrt{14}.

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

Delite 8+2i\sqrt{14} s/z 30.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}, ko je ± minus. Odštejte 2i\sqrt{14} od 8.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

Delite 8-2i\sqrt{14} s/z 30.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(4x-1\right)^{2}.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Razmislite o \left(x-1\right)\left(x+1\right). Množenje je lahko preoblikovano v razliko kvadratov s pravilom: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrat števila 1.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Odštejte x^{2} na obeh straneh.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

Združite 16x^{2} in -x^{2}, da dobite 15x^{2}.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Odštejte 1 na obeh straneh.

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

Odštejte 1 od -1, da dobite -2.

$$15x^{2}-8x=-2$$

Delite obe strani z vrednostjo 15.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Z deljenjem s/z 15 razveljavite množenje s/z 15.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Delite -\frac{8}{15}, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{4}{15}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{4}{15} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{4}{15} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

Seštejte -\frac{2}{15} in \frac{16}{225} tako, da poiščete skupni imenovalec in seštejete števce. Nato okrajšajte ulomek do najnižjih možnih členov.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

Faktorizirajte x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

Prištejte \frac{4}{15} na obe strani enačbe.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$