Rešite (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Rešitev za x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Pomnožite obe strani enačbe s/z 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pomnožite 16 in 3, da dobite 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Okrajšaj največji skupni imenovalec 2 v vrednosti 8 in 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Če želite dobiti potenco vrednosti \frac{x\sqrt{3}}{2}, potencirajte števec in imenovalec, nato pa delite.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Če želite prišteti ali odšteti izraze, jih razširite na skupne imenovalce. Pomnožite 48 s/z \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} in \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} imata isti imenovalec, zato ju seštejte tako, da seštejete njuna števca.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 4 s/z \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izračunajte potenco 2 števila 2, da dobite 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pomnožite 48 in 4, da dobite 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Razčlenite \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izračunajte potenco 2 števila 2, da dobite 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izrazite 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} kot enojni ulomek.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Okrajšaj 4 in 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Pomnožite 16 in 3, da dobite 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Združite x^{2}\times 3 in x^{2}, da dobite 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Odštejte 624 na obeh straneh.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Odštejte 624 od 192, da dobite -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Prerazporedite polinom tako, da jo pretvorite v standardno obliko. Premaknite člene v vrstnem redu od najvišje do najnižje potence.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot x^{2}+ax+bx-108. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Ker je ab negativen, a in b imajo nenegativno vrednost. Ker je a+b pozitivno, je pozitivno število večje absolutno vrednosti kot negativno. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo -108 izdelka.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto 12.

$$a=-6 b=18$$

Znova zapišite x^{2}+12x-108 kot \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Faktor x v prvem in 18 v drugi skupini.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Faktor skupnega člena x-6 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite x-6=0 in x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Pomnožite obe strani enačbe s/z 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pomnožite 16 in 3, da dobite 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Okrajšaj največji skupni imenovalec 2 v vrednosti 8 in 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Če želite dobiti potenco vrednosti \frac{x\sqrt{3}}{2}, potencirajte števec in imenovalec, nato pa delite.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Če želite prišteti ali odšteti izraze, jih razširite na skupne imenovalce. Pomnožite 48 s/z \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} in \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} imata isti imenovalec, zato ju seštejte tako, da seštejete njuna števca.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 4 s/z \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izračunajte potenco 2 števila 2, da dobite 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pomnožite 48 in 4, da dobite 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Razčlenite \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izračunajte potenco 2 števila 2, da dobite 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izrazite 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} kot enojni ulomek.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Okrajšaj 4 in 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Pomnožite 16 in 3, da dobite 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Združite x^{2}\times 3 in x^{2}, da dobite 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Odštejte 624 na obeh straneh.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Odštejte 624 od 192, da dobite -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 4 za a, 48 za b in -432 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrat števila 48.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -4 s/z 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Pomnožite -16 s/z -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Seštejte 2304 in 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Uporabite kvadratni koren števila 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Pomnožite 2 s/z 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-48±96}{8}, ko je ± plus. Seštejte -48 in 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Delite 48 s/z 8.

$$x=6$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{-48±96}{8}, ko je ± minus. Odštejte 96 od -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Delite -144 s/z 8.

$$x=-18$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=6 x=-18$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Pomnožite obe strani enačbe s/z 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Pomnožite 16 in 3, da dobite 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Okrajšaj največji skupni imenovalec 2 v vrednosti 8 in 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Če želite dobiti potenco vrednosti \frac{x\sqrt{3}}{2}, potencirajte števec in imenovalec, nato pa delite.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Če želite prišteti ali odšteti izraze, jih razširite na skupne imenovalce. Pomnožite 48 s/z \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} in \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} imata isti imenovalec, zato ju seštejte tako, da seštejete njuna števca.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Uporabite distributivnost, da pomnožite 4 s/z \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izračunajte potenco 2 števila 2, da dobite 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Pomnožite 48 in 4, da dobite 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Razčlenite \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izračunajte potenco 2 števila 2, da dobite 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Izrazite 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} kot enojni ulomek.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Okrajšaj 4 in 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Kvadrat vrednosti \sqrt{3} je 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Pomnožite 16 in 3, da dobite 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Združite x^{2}\times 3 in x^{2}, da dobite 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Odštejte 192 na obeh straneh.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Odštejte 192 od 624, da dobite 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Delite obe strani z vrednostjo 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

Z deljenjem s/z 4 razveljavite množenje s/z 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Delite 48 s/z 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Delite 432 s/z 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Delite 12, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite 6. Nato dodajte kvadrat števila 6 na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Kvadrat števila 6.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Seštejte 108 in 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Faktorizirajte x^{2}+12x+36. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Poenostavite.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Odštejte 6 na obeh straneh enačbe.

$$x=6 x=-18$$