Rešite (3+r)^2+(15+r)^2=18^2

$$( 3 + r ) ^ { 2 } + ( 15 + r ) ^ { 2 } = 18 ^ { 2 }$$

Rešitev za r

$$r=3\sqrt{14}-9\approx 2,22497216$$

$$r=-3\sqrt{14}-9\approx -20,22497216$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Seštejte 9 in 225, da dobite 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Združite 6r in 30r, da dobite 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Združite r^{2} in r^{2}, da dobite 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Izračunajte potenco 18 števila 2, da dobite 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Odštejte 324 na obeh straneh.

$$234+36r+2r^{2}-324=0$$

Odštejte 324 od 234, da dobite -90.

$$-90+36r+2r^{2}=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$2r^{2}+36r-90=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 2 za a, 36 za b in -90 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Kvadrat števila 36.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 s/z 2.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 s/z -90.

$$r=\frac{-36±\sqrt{1296+720}}{2\times 2}$$

Seštejte 1296 in 720.

$$r=\frac{-36±\sqrt{2016}}{2\times 2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 2016.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 s/z 2.

$$r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}$$

Zdaj rešite enačbo r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, ko je ± plus. Seštejte -36 in 12\sqrt{14}.

$$r=\frac{12\sqrt{14}-36}{4}$$

Delite -36+12\sqrt{14} s/z 4.

$$r=3\sqrt{14}-9$$

Zdaj rešite enačbo r=\frac{-36±12\sqrt{14}}{4}, ko je ± minus. Odštejte 12\sqrt{14} od -36.

$$r=\frac{-12\sqrt{14}-36}{4}$$

Delite -36-12\sqrt{14} s/z 4.

$$r=-3\sqrt{14}-9$$

Enačba je zdaj rešena.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(3+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+\left(15+r\right)^{2}=18^{2}$$

Uporabite binomski izrek \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, da razširite \left(15+r\right)^{2}.

$$9+6r+r^{2}+225+30r+r^{2}=18^{2}$$

Seštejte 9 in 225, da dobite 234.

$$234+6r+r^{2}+30r+r^{2}=18^{2}$$

Združite 6r in 30r, da dobite 36r.

$$234+36r+r^{2}+r^{2}=18^{2}$$

Združite r^{2} in r^{2}, da dobite 2r^{2}.

$$234+36r+2r^{2}=18^{2}$$

Izračunajte potenco 18 števila 2, da dobite 324.

$$234+36r+2r^{2}=324$$

Odštejte 234 na obeh straneh.

$$36r+2r^{2}=324-234$$

Odštejte 234 od 324, da dobite 90.

$$36r+2r^{2}=90$$

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+36r=90$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$\frac{2r^{2}+36r}{2}=\frac{90}{2}$$

Z deljenjem s/z 2 razveljavite množenje s/z 2.

$$r^{2}+\frac{36}{2}r=\frac{90}{2}$$

Delite 36 s/z 2.

$$r^{2}+18r=\frac{90}{2}$$

Delite 90 s/z 2.

$$r^{2}+18r=45$$

Delite 18, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite 9. Nato dodajte kvadrat števila 9 na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$r^{2}+18r+9^{2}=45+9^{2}$$

Kvadrat števila 9.

$$r^{2}+18r+81=45+81$$

Seštejte 45 in 81.

$$r^{2}+18r+81=126$$

Faktorizirajte r^{2}+18r+81. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+9\right)^{2}=126$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(r+9\right)^{2}}=\sqrt{126}$$

Poenostavite.

$$r+9=3\sqrt{14} r+9=-3\sqrt{14}$$

Odštejte 9 na obeh straneh enačbe.

$$r=3\sqrt{14}-9 r=-3\sqrt{14}-9$$