Rešite (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Rešitev za x

$$x=8$$

$$x=15$$

Koraki s faktoriziranjem z združevanjem

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Združite x^{2} in x^{2}, da dobite 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Izračunajte potenco 17 števila 2, da dobite 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Odštejte 289 na obeh straneh.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Odštejte 289 od 529, da dobite 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Prerazporedite polinom tako, da jo pretvorite v standardno obliko. Premaknite člene v vrstnem redu od najvišje do najnižje potence.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Če želite rešiti enačbo, faktor levo roko po združiti. Najprej, na levi strani mora biti uporabnika kot x^{2}+ax+bx+120. Če želite poiskati a in b, nastavite sistem tako, da bo rešena.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Ker je ab pozitivno, a in b imeti enak znak. Ker je a+b negativen, a in b sta negativna. Navedite vse takšne pare celega števila, ki nudijo 120 izdelka.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Izračunajte vsoto za vsak par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Rešitev je par, ki zagotavlja vsoto -23.

$$a=-15 b=-8$$

Znova zapišite x^{2}-23x+120 kot \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Faktor x v prvem in -8 v drugi skupini.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Faktor skupnega člena x-15 z uporabo lastnosti distributivnosti.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Če želite poiskati rešitve za enačbe, rešite x-15=0 in x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Združite x^{2} in x^{2}, da dobite 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Izračunajte potenco 17 števila 2, da dobite 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Odštejte 289 na obeh straneh.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Odštejte 289 od 529, da dobite 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 2 za a, -46 za b in 240 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Kvadrat števila -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Pomnožite -4 s/z 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Pomnožite -8 s/z 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Seštejte 2116 in -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Uporabite kvadratni koren števila 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

Nasprotna vrednost -46 je 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Pomnožite 2 s/z 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{46±14}{4}, ko je ± plus. Seštejte 46 in 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Delite 60 s/z 4.

$$x=15$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{46±14}{4}, ko je ± minus. Odštejte 14 od 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Delite 32 s/z 4.

$$x=8$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=15 x=8$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Združite x^{2} in x^{2}, da dobite 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Izračunajte potenco 17 števila 2, da dobite 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Odštejte 529 na obeh straneh.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Odštejte 529 od 289, da dobite -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Delite obe strani z vrednostjo 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Z deljenjem s/z 2 razveljavite množenje s/z 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Delite -46 s/z 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Delite -240 s/z 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Delite -23, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -\frac{23}{2}. Nato dodajte kvadrat števila -\frac{23}{2} na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Kvadrirajte ulomek -\frac{23}{2} tako, da kvadrirate števec in imenovalec ulomka.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Seštejte -120 in \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktorizirajte x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Poenostavite.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Prištejte \frac{23}{2} na obe strani enačbe.

$$x=15 x=8$$