Rešite (2000-200x)^2+(100x)^2=1000^2

$$( 2000 - 200 x ) ^ { 2 } + ( 100 x ) ^ { 2 } = 1000 ^ { 2 }$$

Rešitev za x

$$x=6$$

$$x=10$$

Koraki z uporabo formule za reševanje kvadratne enačbe

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(2000-200x\right)^{2}.

$$4000000-800000x+40000x^{2}+\left(100x\right)^{2}=1000^{2}$$

Razčlenite \left(100x\right)^{2}.

$$4000000-800000x+40000x^{2}+100^{2}x^{2}=1000^{2}$$

Izračunajte potenco 100 števila 2, da dobite 10000.

$$4000000-800000x+40000x^{2}+10000x^{2}=1000^{2}$$

Združite 40000x^{2} in 10000x^{2}, da dobite 50000x^{2}.

$$4000000-800000x+50000x^{2}=1000^{2}$$

Izračunajte potenco 1000 števila 2, da dobite 1000000.

$$4000000-800000x+50000x^{2}=1000000$$

Odštejte 1000000 na obeh straneh.

$$4000000-800000x+50000x^{2}-1000000=0$$

Odštejte 1000000 od 4000000, da dobite 3000000.

$$3000000-800000x+50000x^{2}=0$$

Vse enačbe v obliki ax^{2}+bx+c=0 lahko rešite s formulo za reševanje kvadratnih enačb: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula za reševanje kvadratnih enačb ponudi dve rešitvi: eno, če je ± seštevanje, in drugo, če je odštevanje.

$$50000x^{2}-800000x+3000000=0$$

Ta enačba je v standardni obliki: ax^{2}+bx+c=0. Vstavite 50000 za a, -800000 za b in 3000000 za c v formulo za reševanje kvadratnih enačb \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-800000\right)±\sqrt{\left(-800000\right)^{2}-4\times 50000\times 3000000}}{2\times 50000}$$

Kvadrat števila -800000.

$$x=\frac{-\left(-800000\right)±\sqrt{640000000000-4\times 50000\times 3000000}}{2\times 50000}$$

Pomnožite -4 s/z 50000.

$$x=\frac{-\left(-800000\right)±\sqrt{640000000000-200000\times 3000000}}{2\times 50000}$$

Pomnožite -200000 s/z 3000000.

$$x=\frac{-\left(-800000\right)±\sqrt{640000000000-600000000000}}{2\times 50000}$$

Seštejte 640000000000 in -600000000000.

$$x=\frac{-\left(-800000\right)±\sqrt{40000000000}}{2\times 50000}$$

Uporabite kvadratni koren števila 40000000000.

$$x=\frac{-\left(-800000\right)±200000}{2\times 50000}$$

Nasprotna vrednost -800000 je 800000.

$$x=\frac{800000±200000}{2\times 50000}$$

Pomnožite 2 s/z 50000.

$$x=\frac{800000±200000}{100000}$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{800000±200000}{100000}, ko je ± plus. Seštejte 800000 in 200000.

$$x=\frac{1000000}{100000}$$

Delite 1000000 s/z 100000.

$$x=10$$

Zdaj rešite enačbo x=\frac{800000±200000}{100000}, ko je ± minus. Odštejte 200000 od 800000.

$$x=\frac{600000}{100000}$$

Delite 600000 s/z 100000.

$$x=6$$

Enačba je zdaj rešena.

$$x=10 x=6$$

Koraki za dopolnjevanje do popolnega kvadrata

Uporabite binomski izrek \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, da razširite \left(2000-200x\right)^{2}.

$$4000000-800000x+40000x^{2}+\left(100x\right)^{2}=1000^{2}$$

Razčlenite \left(100x\right)^{2}.

$$4000000-800000x+40000x^{2}+100^{2}x^{2}=1000^{2}$$

Izračunajte potenco 100 števila 2, da dobite 10000.

$$4000000-800000x+40000x^{2}+10000x^{2}=1000^{2}$$

Združite 40000x^{2} in 10000x^{2}, da dobite 50000x^{2}.

$$4000000-800000x+50000x^{2}=1000^{2}$$

Izračunajte potenco 1000 števila 2, da dobite 1000000.

$$4000000-800000x+50000x^{2}=1000000$$

Odštejte 4000000 na obeh straneh.

$$-800000x+50000x^{2}=1000000-4000000$$

Odštejte 4000000 od 1000000, da dobite -3000000.

$$-800000x+50000x^{2}=-3000000$$

Kvadratne enačbe, kot je ta, lahko rešite z dopolnjevanjem do popolnega kvadrata. Za dopolnjevanje do popolnega kvadrata morate enačbo najprej pretvoriti v obliko x^{2}+bx=c.

$$50000x^{2}-800000x=-3000000$$

Delite obe strani z vrednostjo 50000.

$$\frac{50000x^{2}-800000x}{50000}=-\frac{3000000}{50000}$$

Z deljenjem s/z 50000 razveljavite množenje s/z 50000.

$$x^{2}+\left(-\frac{800000}{50000}\right)x=-\frac{3000000}{50000}$$

Delite -800000 s/z 50000.

$$x^{2}-16x=-\frac{3000000}{50000}$$

Delite -3000000 s/z 50000.

$$x^{2}-16x=-60$$

Delite -16, ki je koeficient člena x, z 2, da dobite -8. Nato dodajte kvadrat števila -8 na obe strani enačbe. S tem korakom boste levo stran enačbe pretvorili v popolni kvadrat.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-60+\left(-8\right)^{2}$$

Kvadrat števila -8.

$$x^{2}-16x+64=-60+64$$

Seštejte -60 in 64.

$$x^{2}-16x+64=4$$

Faktorizirajte x^{2}-16x+64. Če je x^{2}+bx+c kvadrat, ga lahko vedno faktorizirate kot \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=4$$

Uporabite kvadratni koren obeh strani enačbe.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Poenostavite.

$$x-8=2 x-8=-2$$

Prištejte 8 na obe strani enačbe.

$$x=10 x=6$$